专题3.4 导数的综合应用

1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2.会利用导数解决某些简单的实际问题。

考点一 利用导数证明不等式

x【典例1】 【2019年高考天津】设函数f(x)?ecosx,g(x)为f?x?的导函数．

（Ⅰ）求f?x?的单调区间；

（Ⅱ）当x??,?时，证明f(x)?g(x)??x??0；

422（Ⅲ）设xn为函数u(x)?f(x)?1在区间?2n??????????????????,2n???内的零点，其中n?N，证明42??e?2n?． 2n???xn?2sinx0?cosx03ππ??2kπ?,2kπ?(k?Z),f(x)的单调递减区间为f(x)【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为??44??π5π??2kπ?,2kπ?(k?Z).（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. ??44??x【解析】（Ⅰ）由已知，有f'(x)?e(cosx?sinx)．因此，当x??2k?????5??,2k???(k?Z)时，44?fx()0?，有sinx?cosx，得'则f?x?单调递减；当x??2k??得f'(x)?0，则f?x?单调递增．

所以，f?x?的单调递增区间为?2k????3???,2k???(k?Z)时，有sinx?cosx，44???3???,2k???(k?Z),f(x)的单调递减区间为44??5???2k??,2k??(k?Z)． ??44??

（Ⅱ）证明：记h(x)?f(x)?g(x)?????x?．依题意及（Ⅰ），有g(x)?ex(cosx?sinx)，从而?2?????g'(x)??2exsinx．当x??,?时，g'(x)?0，故

?42???????h'(x)?f'(x)?g'(x)??x??g(x)(?1)?g'(x)??x??0．

?2??2?因此，h?x?在区间?,?上单调递减，进而h(x)?h???f???0． ?42??2??2?所以，当x??,?时，f(x)?g(x)??x??0． 422（Ⅲ）证明：依题意，u?xn??f?xn??1?0，即encosxn?1．记yn?xn?2n?，则yn??x?????????????????????????,?，?42?且f?yn??encosyn?eyxn?2n?cos?xn?2n???e?2n??n?N?．

??????由f?yn??e?2n??1?f?y0?及（Ⅰ），得yn?y0．由（Ⅱ）知，当x??,?时，g'(x)?0，所42???以g?x?在?,?上为减函数，因此g?yn??g?y0??g???0．又由（Ⅱ）知，

?42??4????????f?yn??g?yn???yn??0，故

?2?f?yn??e?2n?e?2n?e?2n?e?2n?． ?yn???????2g?yn?g?yn?g?y0?ey0?siny0?cosy0?sinx0?cosx0?e?2n?所以，2n???xn?．

2sinx0?cosx0ln xae1

【变式1】(2019·山东师大附属中学模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x＋－bx(e为自然对数

xex的底数)，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．

(1)求a，b的值；

2

(2)求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

x【解析】(1)因为f(x)＝1－

ln x，

x

ln x－1

所以f′(x)＝，f′(1)＝－1. 2

xae1ae1

因为g(x)＝x＋－bx，所以g′(x)＝－x－2－b.

exex因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1， 即g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1， 解得a＝－1，b＝－1.

e1

(2)证明：由(1)知，g(x)＝－x＋＋x，

ex2ln xe1

则f(x)＋g(x)≥?1－－x－＋x≥0.

xxexln xe1

令h(x)＝1－－x－＋x(x≥1)，

xex1－ln xe1ln xe

则h′(x)＝－＋x＋2＋1＝2＋x＋1. 2xexxeln xe

因为x≥1，所以h′(x)＝2＋x＋1＞0，

xe

所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0， ln xe1

即1－－x－＋x≥0，

xex2

所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. x考点二 不等式恒成立

【典例2】【2019年高考浙江】已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?（1）当a??x?1,x?0.

3时，求函数f(x)的单调区间； 4x1f(x)?, 求a的取值范围． 均有,??)22ae（2）对任意x?[注：e=2.71828…为自然对数的底数．

?2?0,0,3fx3,??【答案】（1）??的单调递增区间是?（2）??,单调递减区间是??；?4?. ??【解析】（1）当a??33时，f(x)??lnx?1?x,x?0． 44f'(x)??31(1?x?2)(21?x?1)， ??4x21?x4x1?x