﹣5x（0≤x＜120）；

（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w， 则w=（600﹣5x）（100+x） =﹣5x2+100x+60000 =﹣5（x﹣10）2+60500， ∵a=﹣5＜0，

∴w的最大值是60500，

则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函数的性质是解题的关键．

27．（10分）如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．

（1）求证：BD=AC；

（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．

①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长； ②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由． 【分析】（1）先判断出AH=BH，再判断出△BHD≌△AHC即可；

（2）①先根据tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根据△EHA∽△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可； ②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到比即可．

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，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似

【解答】解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°， ∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

，

∴△BHD≌△AHC， ∴BD=AC， （2）①如图，

在Rt△AHC中， ∵tanC=3， ∴

=3，

设CH=x， ∴BH=AH=3x， ∵BC=4， ∴3x+x=4， ∴x=1，

∴AH=3，CH=1，

由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH， ∴∠EHF+∠AHF=∠AHC+∠AHF， ∴∠EHA=∠FHC，∴△EHA∽△FHC， ∴∠EAH=∠C， ∴tan∠EAH=tanC=3， 过点H作HP⊥AE， ∴HP=3AP，AE=2AP，

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，

在Rt△AHP中，AP2+HP2=AH2， ∴AP2+（3AP）2=9， ∴AP=∴AE=②如图1，

， ；

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到， ∴HD=HF，∠AHF=30° ∴∠CHF=90°+30°=120°，

由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形， ∴∠GAH=∠HCG=30°， ∴CG⊥AE，

∴点C，H，G，A四点共圆， ∴∠CGH=∠CAH， 设CG与AH交于点Q， ∵∠AQC=∠GQH， ∴△AQC∽△GQH， ∴

，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到， ∴EF=BD，

由（1）知，BD=AC， ∴EF=AC ∴

=

=2．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和

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判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

【分析】（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出点A、B坐标．

（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：①当直线l边AD相交与点M1时，根据S

=

×10=3，求出点M1坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交

与点M2时，同理可得点M2坐标．

（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．

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【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）． ∴a﹣3=﹣，解得：a=， ∴y=（x+1）2﹣3

当y=0时，有（x+1）2﹣3=0， ∴x1=2，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10． 从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况： ①当直线l边AD相交与点M1时，则S∴×3×（﹣y∴y

）=3

=

×10=3，

=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线

l的解析式为y=2x+2．

②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣． 综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．

（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b， ∴﹣k+b=0， ∴b=k， ∴y=kx+k． 由∴

，

+（﹣k）x﹣﹣k=0，

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．

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