第十二章 矩阵位移法

【例12-1】 图 a所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。分别用位移法和矩阵位移法计算。

图12-1

解：（1）位移法解

?基本未知量和基本结构的确定

用位移法解的基本结构如图c所示。这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。

?位移法基本方程的建立

K11?1?K12?2?K13?3?R1P?0??K21?1?K22?2?K23?3?R2P?0? K31?1?K32?2?K33?3?R3P?0??将上式写成矩阵形式

?K11?K?21??K31K12K22K32K13???1??R1P??0???????K23???2???R2P???0?

???????K33????3??R3P??0??系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）

由图d，结点力矩平衡条件

?M?0，得 ?M?0，得

K11?4EIl，K21?2EIl，K31?0

由图e，结点力矩平衡条件

K12?2EIl，K22?4EIl?4EIl?8EIl，K32?2EIl

由图f，结点力矩平衡条件

?M?0，得 ?M?0，得

K13?0，K23?2EIl，K33?4EIl?4EIl?8EIl

由图g，结点力矩平衡条件

R1p??Pl8，R2P??Pl8，R3P?0

将系数项和自由项代入位移法基本方程，得

??1??0??420???1?EI???Pl????282???2????1???0? ?l?8???0??0???????028????3???1?Pl2???解方程，得??2?????416EI?3??11????4? ??1????由叠加法绘弯矩图，如图h所示。

（2）矩阵位移法解

?对单元和结点编号（图a） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。若用后处理法原始结构刚度阵为4?4阶；用先处理法结构刚度阵为3?3阶（已知角位移?4?0）。下面采用先处理法来说明矩阵位移法计算过程。 单元标准形式为（图b）

?4EI?l(e)?k?2EI??l2EI?l?4EI??l?(e)(e)?kii??(e)?kji(e)?kij? k(jje)??求局部坐标系下的单元刚度矩阵k(e)

?求整体坐标下的单元刚度矩阵k(e)?TTk(e)T，因连续梁的局部坐标和整体坐标是一

致的，所以有k(e)?k(e)，得（注：本题用先处理法换码）

k(1)EI?l?42??24???(1)1EI?42?(2) ， k??2l??24?(2)2EI?42?(3) ，k??3l??24?(3)3 0?按“对号入座”规则集成总刚，得

?420?1EI?282?2 K??l???028??3 ?形成荷载列阵P

(1) 计算单元固端列阵

??18?1??14?2??14?3(2)(3)FF(1)?Pl?F?F?，，PlPl????? FF18214314??????0 （2）将单元固端列阵反号，并按“对号入座”规则送入荷载列阵P （本题结点荷载为

零）

?0??18??18?1??????P=PD?PE=?0??Pl??18?14??Pl?18?2

?0???14?14??0?3???????将结构刚度矩阵及荷载列阵代入矩阵位移法方程K??P，得

?18??420???1?EI?????282???2??Pl?18?

?l????0?????028????3???1?Pl2???解方程，得??2?????416EI?3??计算杆端弯矩

F(e)?FF(e)?k(e)?(e)?FF(e)?k(e)?(e)?FF(e)?k(e)T?(e)

?11????4? ??1???F(1)??18?EI?42?Pl2=Pl??????18?l?24?416EI?11?Pl??52?Pl?52?Pl?0???????????? ?4?416?52?416?38?208?45?F(2)??14?EI?42?Pl2?4?Pl??104?Pl?14?Pl??45?=Pl????24?416EI??1??416?104??416?4??208?54? 14l??????????????14?EI?42?Pl2??1?Pl??104?Pl??4?Pl??54?=Pl?????????????? ???14?l?24?416EI?0?416?104?416??2?208?51?F(3)