?z1??Khph ?z2m式中，Kh?2??1n2??22(1?n2)1?m2?n2??m?n??为水平荷载作用时地基竖向附加应力系数， ??为矩形基底受水平均布荷载作用时的竖向附加应力分布系数m?lb,n?zb查表2-4。
注：①b始终是水平荷载作用面向矩形基底的长度，不论其是长边还是短边，而l是矩形的另一条边长；
②当计算点在水平均布荷载作用方向的终止端时，取“+”；当计算点在水平均布荷载作用方向的起始端时，取“-；”
③当计算点在基底范围以内或以外时，仍可用角点法和叠加理论计算；
④显然在基础的b/2处的竖直线上，因ph引起的地基竖向附加应力为零。“角点法”原理对于水平荷载作用的情况同样可以应用。
例：已知两柱下独立基础埋深为1.7m，基础底面尺寸为3×2㎡，作用于基础上的荷载均为F=1308KN，两柱中心距离为6m，基础埋深范围内涂的容重??18KN/m，
3基础及基础台阶上回填土的平均重度?G?20KN/m（1）
2m2mA3mBdeabF=1308KNcaF=1308KN试求基础A中心点下地基附加应力（2）若考虑基础B的影响，附加应力要增加多少？ 解：（1）求基底压力 ??F?G1308?20?3?2?1.7??252kpa A3?2OO170.994.85433.72316.812.49.7221.4（2）求基底净压力 一、先求不考虑B基础影响时，A基底中点O下0，1，2，3，4，5，6，7，8等各点的?z 点 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ?0???rd?252?18?1.7?221.4kpa12345678z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 l/b 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 z/b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ?s 0.250 1.93 0.107 0.061 0.038 0.026 0.019 0.014 0.011 ?z?4?s?0 221.4 170.9 94.8 54.0 33.7 23.0 16.8 12.4 9.7 '二、求在基础B的影响下，附加应力的增加，令A0abc为I部分，Aoacd为II部分，泽?z?2(?sⅠ-?s
Ⅱ
)?0
点 0 1 2 3 z 0 1 2 3 Ⅰ Ⅱ l/b 4.67 4.67 4.67 4.67 z/b 0 0.57 1.33 2 l/b 3.33 3.33 3.33 3.33 z/b 0 0.67 1.33 2 ?sⅠ 0.25 0.2291 0.179 0.136 ?sⅡ 0.250 0.229 0.177 0.132 ?z' 0.0 0.04 0.89 1.77 ?z 221.4 170.94 95.69 55.77 第 9 页 共 14 页
3m3OO4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 2.67 3.33 4 4.67 5.33 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 2.67 3.33 4 4.67 5.33 0.106 0.086 0.070 0.058 0.048 0.100 0.079 0.062 0.050 0.042 2.66 3.10 3.54 3.54 2.66 36.36 26.1 20.34 15.94 12.36 例：某方形基础底面尺寸为6×6㎡，其上作用着竖直偏心荷载F=10000KN，偏心矩e=1m,试求基础中心点以下7.2m处的竖向附加应力（基础及基础台阶上土的重量不计）
解：
（1） 求基底压力
?maxmin?F?G6e100006?1(1?)?(1?)?555.56kpaAB6?66
y6m（2） 求基底净压力
?0???rd?555.56kpa
（3） 求O点下?z，可将基础分为二部分，则?z?2?z?，
求?z?时，再将基础分为二部分，这样O点位于角点下， 对I部分，
ⅠⅡ6mOxzPP555.56555.56T??TIT=0.064?-0.0297?=9.53kap222237.2 其中?S，?T?（f，）33PP对II部分(?z')Ⅱ=?SⅡT+?TⅡT
22555.56P=0.064???TⅡT=9.53kpa
22所以?z'?(?z')Ⅰ+(?z')Ⅱ=9.53+9.53=19.06kpa 所以?z?2?z'?2?19.06kpa?38.12kpa
(?z')I??SI
4、圆形基底受均布荷载作用下的附加应力计算
?????? ?2?设圆心基础半径为r0，均布荷载为pn，要求圆心下任意点M处的竖向附加应力?z：
（1）圆心下?z?现采用极坐标系，原点置于圆心，在圆面积内任点一小微元体，则
dA?r?dr?d?，其上的微集中应力为dF?pnr?dr?d?
则圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力σz为
dF=dAP0?z??3pnzrdrd??Krpn 0?02?(r2?z2)521]为圆形面积均布荷载中心点下的竖向式中Kr?[1?1(22?1)32zr02?r03dθr附加应力系数，Kr是zr0的函数，由表2－5查取。
（2）任意点
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M(0,0,z)z(r')2?r2?l2?2rlcos?
?R?(r2?l2?z2?2rlcos?)1/2
z3r0rdrd?3z3r0rdrd?3d?z?? 32225/22?R2?(r?l?z?2rlcos?)dF=dAP0??z??2?0?ro0z3r0rdrd?3 2225/22?(r?l?z?2rlcos?)rθdθrrR?K0P0
lzK0可按,查表求出
r0r0由此可知，圆心点处的竖向附加应力是上例的特殊情况，即当l?0时
三、平面问题条件下的附加应力
M(0,0,z)z理论上，当基础长度l与宽度b之比l/b=∞时，其内部的应力状态属平面问题，实际上，并不存在无限长的基础，大量的实践及研究表明，当l/b≥10时，其结果与l/b=∞时的情况相差不多，因此，水利工程中的土坝、土堤、水闸、挡土墙、码头、船闸、船坞等，当l/b≥10时，均可按平面问题处理。
1、竖直线荷载作用下的附加应力
沿无限长直线上作用的竖直均布荷载称为竖直线荷载，当地面上作用着竖直线荷载时，在xoz的地基剖面内，任一点M（x，o，z）的附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方法求得
3z3pdy2p3z32p3?z????cos? 54?R?R11??2?R??2px2z2p2同理，?x??cos?sin?，4?R1?R1?xz??zx2pxz22p2??cos?sin? 4?R1?R1这就是著名的符拉蒙（Flamant）解答。 式中p为单位长度上的线荷载（KN/M）
2px2z2p2pxz22p22同理可求出?x?，?cos?sin??????cos?sin? xzzx44?R1?R1?R1?R1由于荷载沿y轴均匀分布且无限延长延伸，因此与y轴垂直的任何平面上的应力状态完全相同，据弹性力学的知识，可得?xz??zx，?yz??zy?0，?y??(?x??z)
2、条形基底受竖直均布荷载作用时的附加应力
设条形基底宽度为b，作用有均布基底净压力pn，则由符拉蒙解答可得地基中任意M点的竖向附加应
z3d?力为：?z????Kszpn 220?[(x??)?z]x?同理可求出：?x?Kspn ，?xz?Kspn b2pn注意：积分是0→b, 要求：
原点在角点；X轴正向与荷载分布方向一致
式中，Ks，Ks，Ks为条形基底受竖直均布荷载作用下的附加应力系数，它们是m?xb，n?zb的函数。可查表2-6。
3、条形基底受竖直三角形分布荷载作用时的附加应力
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zx?条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为pt），微宽度d?上的线荷载为?ptd?b，应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力： z?x ?z?Ktpt；?x?Ktpt；???Ktpt h=2mh=3m3 γ=17.6KN/m 12 c=10KN/m 10 Φ=16 13 γ=18.4KN/m23 γ=21.0KN/mm2 c=0KN/m 2式中，Kt，Kt，Kt为条形基底受竖直三角形分布荷载作用的附加应力系数，它们是m?xb，n?zb的函数。可查表2-7。 注意：（1）原点在尖点；（2）X轴正向与荷载增大方向一致。 4、条形基底受水平均布荷载作用时的附加应力 当条形基底作用有水平均布荷载ph（作用于基底沿宽度b方向的切向力）时，地基中任一点的附加应力同样可利用弹性力学中水平线荷载作用下的地基附加应力的基本公式求得： zx? ?z?Khph；?x?Khph；???Khph zx? Φ=32 20 式中，Kh，Kh，Kh为条形基底受水平均布荷载作用时的附加应力系数，均是m?xb，n?zb的函数。可查表2-8。 注意：（1）原点在荷载起点；（2）X轴正向与荷载方向一致。 例1：某水闸基础，宽度为15米，长度为160米，埋置深度为1.5米，作用于水闸上的荷载如图所示，求C点以下6米深度处的竖向附加应力（地基土体天然容重为17.64 KN/m3 ，偏心距e=0.5m）。 附表：m=x/B n=z/B 表1、条形基底受竖直均布荷载时的KSZ值： 表2、条形基底受三角形分布荷载时的KTZ值： n m 0.25 0.50 0.75 0.2 0.936 0.978 0.936 0.4 0.797 0.881 0.797 0.6 0.679 0.756 0.679 0.8 0.586 0.642 0.586 n 0.6 0.8 0.2 0.4 m zx?
0.25 0.50 0.75 0.255 0.498 0.682 0.263 0.441 0.534 0.258 0.378 0.421 0.243 0.321 0.343 解：
（1）判别问题的类型：L属平面问题。
（2）计算基底压力：
?160?10.7?10 B15pmax?minF6?e15006?0.5120(1?)?(1?)?Kpa
80BB1515（3）对基底压力进行分解，并计算基底净压力：
A：竖直均匀分布荷载基底净压力：p0?pmin??0?D?80?17.64?1.5?53.54Kpa B：三角形分布荷载：pT?pmax?pmin?120?80?40Kpa
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