等差等比数列的性质总结 下载本文

一、等差数列

1.等差数列的定义:an?an?1?d(d为常数)(n?2);

2.等差数列通项公式:

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) , 首项:a1,公差:d,末项:an 推广: an?am?(n?m)d. 从而d?

3.等差中项

(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A?(2)等差中项:数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4.等差数列的前n项和公式:

a?b或2A?a?b 2an?am;

n?mSn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)

特别地,当项数为奇数2n?1时,an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)

?

5.等差数列的判定方法

(1) 定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列. ⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b(其中k,b是常数)。

(2) 等差中项:数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2. (4)数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,(其中A、B是常数)。

6.等差数列的证明方法

定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列.

?

7.提醒:

(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)设项技巧:

①一般可设通项an?a1?(n?1)d

②奇数个数成等差,可设为…,a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…(公差为d);

③偶数个数成等差,可设为…,a?3d,a?d,a?d,a?3d,…(注意;公差为2d)

8..等差数列的性质: (1)当公差d?0时,

等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;

前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222

(2)若公差d?0,则为递增等差数列,若公差d?0,则为递减等差数列,若公差d?0,则为常数列。

(3)当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq,特别地,当m?n?2p时,则有am?an?2ap.

注:a1?an?a2?an?1?a3?an?2????,

- 1 -

(4)若?an?、?bn?为等差数列,则??an?b?,??1an??2bn?都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ,…也成等差数列

(6)数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列

(7)设数列?an?是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时,

*n?a1?a2n?1?S奇?a1?a3?a5?????a2n?1??nan

2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1

2S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?

S奇nana??n S偶nan?1an?1

2、当项数为奇数2n?1时,则

?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1??? ??S?S?aS?naSnn+1n+1?奇偶偶?偶??(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).

(8)、{bn}的前n和分别为An、Bn,且

(9)等差数列{an}的前n项和Sm?n,前m项和Sn?m,则前m+n项和Sm?n???m?n?

(10)求Sn的最值

法一:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

An?f(n), Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1n?N*。

法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和 即当a1?0,d?0, 由??an?0可得Sn达到最大值时的n值.

?an?1?0?an?0可得Sn达到最小值时的n值.

?an?1?0 (2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a1?0,d?0, 由?或求?an?中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n?

注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:

①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程;

②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

p?q 2- 2 -

二、等比数列

1. 等比数列的定义:2. 通项公式:

an?q?q?0??n?2,且n?N*?,q称为公比 an?1an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?, 首项:a1;公比:q qn?m推广:an?amqn?m, 从而得q3. 等比中项

?ana或q?n?mn amam2(1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A?ab或A??ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1

4. 等比数列的前n项和Sn公式: (1) 当q?1时, Sn?na1 (2) 当q?1时,Sn?a1?1?qn?1?q??a1?anq

1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'(A,B,A',B'为常数) 1?q1?q5. 等比数列的判定方法

(1)用定义:对任意的n,都有an?1?qan或an?1?q(q为常数,an?0)?{an}为等比数列 an (2) 等比中项:an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列 (3) 通项公式:an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列

nn(4) 前n项和公式:Sn?A?A?B或Sn?A'B?A'A,B,A',B'为常数?{an}为等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义:若

??an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列 an?17. 注意

(1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、q、n、an及Sn,其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;an?a1qn?1

如奇数个数成等差,可设为…,

aa,,a,aq,aq2…(公比为q,中间项用a表示); 2qq- 3 -