解：（1）由已知可得a8??2，所以a3?a13=2a8??4，S15=
15?a1?a15??15a8??30
2?a1?2?a1?64，所以或? aa?128,a?a?662由题???1n1n?an?64?an?21a1?anq?q?2??q?又Sn?或??126,所以?2
n?61?q???n?6?3?S99??a1?a4??a97???a2?a6??a98???a3?a6??a99??11???2??1??a3?a6?q??q?a99??a3?a6??a99?44
评注：分解重组，引导发现（a1?a4?使问题获得简单的解法。
、（a2?a6??a97）?a98）与（a3?a6??a99）的关系，从而
?4?设等差数列共2n-1项,则
S奇S偶?a1?a2n?1?n??a2?a2n?2?(n?1)22?n80??n?16 n?175所以此数列共31项.中间项?S奇?S偶?80?75?5
评注：（1）在项数为2n?1项的等差数列{an}中，S奇=(n+1)a中,S偶=na中,S2n+1=(2n+1)a中； （2）在项数为2n项的等差数列{an}中S奇=nan,S偶=nan?1,S2n+1=n(an?an?1)．
变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；
（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,n?N,a3a5?2a4a6?a5a7?81，则
*a4?a6? 9 ．
（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是 210 ．
(4) 等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.例2、设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，
（1）求公差d的取值范围。
（2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。
a1588。（=）
61b15?2a?11d?012?1112?13d?0，S13?13a1?d?0，即?1， 22?a1?6d?024?d??3。 由a3?a1?2d?12,代入得：?7（2）解一：由S12?6?a6?a7??0，S13?13a7?0可知a6?0,a7?0，所以S6最大。
解：（1）S12?12a1?解二：Sn?24d2?5d??d??3可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的n??12??n，由?722??2点，根据图象可知S6最大。
24d?5d?24?d5d?242??d??3得 解三：Sn??n?，由?()?72?2d?22d5d?24136??。又抛物线开口向下，所以S6最大。
2d2评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的
性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）
变式：(1) 已知等差数列{an}中，a1?0,S5?S12，问S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大。
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(2) 数列{an}是首项为1000，公比为
1的等比数列，数列{bn}满足 101bk?(lga1?lga2?k?lgak)(k?N*)，
（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn?．
略解：（1）由题得an?104?n，∴lgan?4?n，∴{lgan}是首项为3，公差为?1的AP。
∴lga1?lga2?k(k?1)1n(n?1)7?n]?，∴bn?[3n?
2n22?bn?021由?，得6?n?7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为S6?S7?
2b?0?n?1?lgak?3k?（2）由（1）当n?7时，bn?0，当n?7时，bn?0，
7?n2)n??1n2?13n ∴当n?7时，Sn??b1?b2??bn?(2441213当n?7时，Sn??b1??b7?b8??bn?2S7?Sn?n?n?21
44?1213?n?n(n?7)??44∴Sn???．
?1n2?13n?21(n?7)??44例3、(1) 由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4
3?项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式．
?a1(1?q2n)11a1q(1?q2n)①
??1?q2解：当q?1时，得2na1?11na1不成立，∴q?1，∴?1?q
?aq2?aq3?11aq?aq3② ?111111n?2由①得q?，代入②得a1?10，∴an?()．
1010说明：用等比数列前n项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． (2) 若数列{an}成等差数列，且Sm?n,Sn?m(m?n)，求Sn?m．
解：（法一）基本量法（略）；
2?(1)?An?Bn?m （法二）设Sn?An?Bn，则? 2(2)??Am?Bm?n(1)?(2)得：(n2?m2)A?(n?m)B?m?n，m?n， ∴(m?n)A?B??1，
2∴Sn?m?(n?m)2A?(n?m)B??(n?m)．
评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征Sn?An?Bn。
变式：设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{7?6?S?7a?d?71??72解：法一：（基本量法）设{an}首项为a1，公差为d，则?
15?14?S?15a?d?75151?2??a??2Sn(n?1)n?1n5∴ ?1 ∴ Sn??2?，∴ n??2???
d?12n222?2Sn}的前n项和，求Tn。 n- 6 -
∴ 此式为n的一次函数， ∴ {
Sn1a}为等差数列，∴ Tn?n2?n。
44n2
2??S7?A?7?7B?7法二：{an}为等差数列，设Sn=An+Bn，∴ ?
2??S15?A?15?15B?751?A??15?2 ∴ 解之得：?Sn?n2?n，下略。
22?B??5?2?
例4、已知等差数列110,116,122,，
（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：an?110?6(n?1)?6n?104，
（1）由450?6n?104?600，得58?n?82，又n?N,
*1(a58?a82)?25?13100． 2（2）∵an?110?6(n?1)，∴要使an能被5整除，只要n?1能被5整除，即n?1?5k，
∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和Sn?∴n?5k?1，∴58?5k?1?82，∴12?k?16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和S?5(a61?a81)?2650．
2等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题
1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ） A.34 B.35 C.36 D.37 2.{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是（ ） A.24 B.27 C.30 D.33 3.设函数f(x)满足f(n+1)=
A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0,a2003.a2004?0，则使前n项和
2f(n)?n(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（ ） 2Sn?0成立的最大自然数n是：
（ ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
5.等差数列{an}中，已知a1=－6,an=0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8
6. 设命题甲:△ABC的一个内角为60o，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么( )
(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为（ ） A.180 B.－180 C.90 D.－90
8. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ） A.9 B.10 C.19 D.29
9.由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4, a2+a5, a3+a6…是（ ） A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列
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C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列
10.在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题
2an211.在数列{an}中，a1=1,an+1=(n∈N*),则是这个数列的第_________项.
an?2712.在等差数列{an}中，已知S100=10，S10=100，则S110=_________.
13.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______.
Sa2n14.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若n=,则11=_________.
Tn3n?1b1115. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则16. 若数列{an}是等差数列，则数列?a1?a3?a9的值是
a2?a4?a10?a1?a2??an??也为等差数列，类比上述性质，相应地：若{cn}n??是等比数列，且cn>0，则{dn}是等比数列,其中dn? ．
17. 设m∈N+，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是
三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？
19. 在等差数列{an}中，若a1=25且S9=S17,求数列前多少项和最大.
20. 已知f(x+1)=x2－4,等差数列{an}中,a1=f(x－1), a2=－
(1)求x值； （2）求a2+a5+a8+…+a26的值.
21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=
3,a3=f(x). 21. 21}是等差数列； （2）求an表达式； Sn（3）若bn=2(1－n)an(n≥2),求证：b22+b32+…+bn2<1.
(1)求证：{
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