等比数列的前n项和教案

一、教学目的

1、理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．

2、通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

3、通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

二、教学重点、难点、关键

教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用． 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导。

教学关键：推导等比数列的前n项和公式的关键是通过情境的创设，发现错位相减求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等比数列模型，运用公式解决问题。

三、教具、学具准备

多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。 四、教学方法

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。

本节课将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。

五、学法指导

“授人以鱼，不如授人以渔”。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。

根据二期课改的精神，转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容，数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了创设情景——观察归纳——讨论研究——即时训练——总结反思——任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。抓住学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；同时从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，帮助学生培养勇于探索、不断创新的思维品质。

六、教学过程

1、复习回顾，引旧导新

n?1ana?aqn1（1）等比数列{an}的定义及通项公式。 ?q(n?2)，an?1（2）等比中项：如果a,b,c成等比，则b??ac。 （3）等比数列{an}的一些结论：

an?amqn?m

p?q?m?n时，则apaq＝aman2、创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？

师：同学们，你能解释这是为什么吗？本节课我们研究《等比数列前n项和》，通过学习，我们就可以很容易解释这个问题了。（板书课题）

2.5等比数列的前n项和

一般地，等比数列的前n项和用sn表示，即：

sn?a1?a2???an。

设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极

性．故事内容紧扣本节课的主题与重点。

此时我再问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数

1+2+22+23+??????+263。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次

算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。

3、师生互动，探究问题

2363在肯定他们的思路后，我接着问：1+2+2+2+??????+2是什么数列？有何特征？应

归结为什么数学问题呢？

探讨1：设1+2+22+23+??????+263，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有

2s64=2+22+23+???+263+264，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？

设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。

经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：s64?264?1。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观教师推导全过程。

师：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

生：乘以2后使得（1）式与（2）式出现相同的项，从而可以实现两式相减，消去相同的项。

设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

4、类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列{an}，首项为a1，公比为q，如何求前n项和sn呢？在此让学生自主完成，并叫一名学生上黑板，然后对每个学生在自觉研究时遇到的难题进行指导点拔。

设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。

a1-a1qn在学生推导完成后，我再问：由(1-q)sn=a1-a1q得sn=，对不对呢？这里

1-qn的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn??（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）

?a1(1?qn)?1?q即：Sn????na??1q?1q?1 再次追问：结合等比数列的通项公式an?a1?qn?1，如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

?a1?anq?即：Sn??1?q?na?1q?1q?1 设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。

5、讨论交流，延伸拓展

在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？

方法二：我们知道, sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+?+a1qn-2) 。那么我们能否利用这个关系而求出sn呢？

即：提取公比q，有：

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1 ?a1?（qa1?a1q???a1qn?2） ?a1?q（Sn?a1qn?1）