一章， 0命题逻辑

数 = 质数，合数有因子

和 或 假必真 同为真

→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。 公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式 ┐p)分别为3层和4层公式 p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r

(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值

二章， 命题逻辑等值演算

）双重否定律 ??A?A

）等幂律 A∧A?A ； A∨A?A

）交换律 A∧B?B∧A ； A∨B?B∨A

）结合律 （A∧B）∧C?A∧（B∧C） ； （A∨B）∨C?A∨（B∨C）

）分配律 （A∧B）∨C?（A∨C）∧（B∨C） ； （A∨B）∧C?（A∧C）∨（B∧C）

）德·摩根律 ?（A∨B）??A∧?B ； ?（A∧B）??A∨?B

）吸收律 A∨（A∧B）?A；A∧（A∨B）?A

）零一律 A∨1?1 ； A∧0?0

）同一律 A∨0?A ； A∧1?A

0）排中律 A∨?A?1

1）矛盾律 A∧?A?0

2）蕴涵等值式 A→B??A∨B

3）假言易位 A→B??B→?A

4）等价等值式 A?B?（A→B）∧（B→A）

5）等价否定等值式 A?B??A??B??B??A

6）归缪式 （A→B）∧（A→?B）??A

i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨As为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p ∧A2∧…∧As为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r

1个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式

个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式

范式 【∧小真，∨大假】

∧ 成真 小写

例】 (p→q)→(┐q→┐p)

┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)

(p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)

(p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）

m2∨m0∨m1∨m1∨m3

m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)

(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：

┐p = ┐p∧(┐q∨q)

= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)

q = (┐p∨p)∧q

= (┐p∧q)∨(p∧q)

熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。

该公式中含n=2个命题变项，它的主析取范式中含了22=4个极小项，故它为重言式，

，01，10，11全为成真赋值。

例】(p→q)∧┐p

= (┐p∨q)∧┐p (消去→)

= ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式

= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)

= m0∨m1

例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)

= (p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)

= (p∨q)∧┐(p∧q)

言蕴涵式

例】用附加前提证明法证明下面推理。

提：P→（Q→R），?S∨P，Q 结论：S→R

明：（1）?S∨P 前提引入规则

）S 附加前提引入规则

）P （1）（2）析取三段论规则

）P→（Q→R） 前提引入规则

）Q→R （3）（4）假言推理规则

）Q 前提引入规则

）R （5）（6）假言推理规则

例】用归缪法证明。

提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R

明（1）?（S∨R） 附加前提引入规则

）?S∧?R （1）置换规则

）?S （2）化简规则

）?R （2）化简规则

）Q→S 前提引入规则

）?Q∨S （5）置换规则