（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【考点】相似三角形的判定与性质；根的判别式；矩形的性质． 【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点， ∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∴∠BMC=90°．

（2）解：存在， 理由：若∠BMC=90°， 则∠AMB+∠DMC=90°， 又∵∠AMB+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DMC， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△ABM∽△DMC， ∴

=

，

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设AM=x，则=，

整理得：x2﹣bx+a2=0， ∵b＞2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，

（3）解：不成立． 理由：若∠BMC=90°， 由（2）可知x2﹣bx+a2=0， ∵b＜2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＜0， ∴方程没有实数根，

∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及一元二次方程的性质．此题难度较大，解此题的关键是利用相似的性质构造方程，然后利用判别式求解．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=﹣x+3恰好经过B，C两点 （1）写出点C的坐标；

（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．

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【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）由直线y=﹣x+3可求出C点坐标；

（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；

（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．

【解答】解：（1）y=﹣x+3与y轴交于点C，故C（0，3）．

（2）∵抛物线y=x2+bx+c过点B，C， ∴解得

， ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣1）×（x﹣3）， ∴对称轴为x=2， 点A（1，0）．

（3）由y=x2﹣4x+3，

可得D（2，﹣1），A（1，0）， ∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2， 可得△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC=45°，

．

如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，

∴AF=AB=1．

过点A作AE⊥BC于点E．

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∴∠AEB=90度． 可得

，

．

在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF， ∴△AEC∽△AFP． ∴

，

解得PF=2．

或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3， 再得PF=2．

∵点P在抛物线的对称轴上，

∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．

【点评】本题前两问考查了二次函数的基本性质，较为简单．第三问结合二次函数的图象考查了三角形的性质，综合性较强．

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