专题1.1 集合

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。

知识点1：元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?。 (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。 知识点2：集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A。

(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则

A

(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B。

B或BA。

(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 知识点3.集合的基本运算

符号表示 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为?UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} 知识点4.集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A。 (2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A。 (3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A。 【特别提醒】

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。 2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C。 3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB。

4. ?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)。

考点一：集合的基本概念

【典例1】(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A.9

B.8

C.5

D.4

【答案】A

【解析】方法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，

1

y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C13C3＝9，故选A。

方法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A。

【规律方法】

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。

3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。

???x＋1【变式1】（(2019·辽宁实验中学期中)已知集合A＝?x∈Z?x－2≤0?，则集合A的子集的个数为( )

?

?

A．7B．8C．15D．16 【答案】B

x＋1【解析】由≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x<2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A＝{－

x－21,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8.

考点二：集合间的基本关系

【典例2】(2019·河北衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1

【答案】 (－∞，4]

【解析】A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}， 当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2。 当B≠?时，若B?A，如图所示

?