上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
jw上式中H(e)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，
?1,n?0,14. 设x(n)??将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x(n)，画出x(n)和
?0,其它x(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。
解：
画出x(n)和x(n)的波形如题4解图所示。
X(k)以4为周期，或者 X(k)以4为周期
5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(e)表示，不直接求出X(e)，完成下列运算： （1）X(e)；
?j0jwjw（2）
???X(ejw)dw；
2?（5）解：
???X(ejw)dw
（1）X(e)??j0n??3?x(n)?6
7（2）
???X(ejw)dw?x(0)?2??4?
27?（5）
???X(e)dw?2??x(n)?28?
jwn??326. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1)； 22n（3）x3(n)?au(n),0?a?1 解：
（2）
（3） X3(e)?7. 设:
（1）x(n)是实偶函数，
jwn????au(n)en??jwn??ane?jwn?n?0?1 ?jw1?ae（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn
（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?两边取共轭，得到 因此X(ejw)?X*(e?jw)
jwn????x(n)e??jwn
上式说明x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质。 由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么 因此X(e)?jwjwn????x(n)coswn
?该式说明X(e)是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(e)是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质，即 由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么
jwjwjwn?????x(n)coswn?0
?因此X(e)?jjwjwn????x(n)sinwn
这说明X(e)是纯虚数，且是w的奇函数。
10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(e)?1?cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。 解：
jwjw12. 设系统的单位取样响应h(n)?anu(n),0?a?1，输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列y(n)；
（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1） （2）
13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： （1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)； （2）写出xa(t)和x(n)的表达式；
（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解： （1）
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以 表示成：
?a(t)?（2） x（3）
n????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)
a0n?????式中?s?2?fs?800?rad/s 式中w0??0T?0.5?rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它
的傅里叶变换表达式。
14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2u(?n?1)； （3）2u(?n)；
（6）2[u(n)?u(n?10)] 解：
（2） ZT[2u(n)]??n?n?n?nn????2u(n)z?n??n??2?nz?n?n?0?11 ,z??1?11?2z2（3） （6） 16. 已知:
求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。
解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z?0.5时，
n?1令F(z)?X(z)z5?7z?15z?7n?1n ?z?z?1?1(1?0.5z)(1?2z)(z?0.5)(z?2)n?0，因为c内无极点，x(n)=0；
n??1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有
z1?0.5,z2?2，那么
（2）当收敛域0.5?z?2时，
n?0，C内有极点0.5；
n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一
个，即2，
最后得到x(n)?3()u(n)?22u(?n?1) （3）当收敛域2?z时，
12nnn?0，C内有极点0.5，2；
n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
17. 已知x(n)?au(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）au(?n)的z变换。 解：
（1）X(z)?ZT[au(n)]?nn?nn????au(n)zn??n?1,z?a ?11?azdaz?1（2）ZT[nx(n)]??zX(z)?,z?a
dz(1?az?1)2（3）ZT[au(?n)]??n?azn?0???n?n??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求： ?1?22?5z?2z（1）收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z?2对应的原序列x(n)。 解：
（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点0.5，
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2, 最后得到
（2（当收敛域z?2时，
n?0,c内有极点0.5,2,
n?0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,
因此x(n)?0, 最后得到
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n) 最后得到
（2）用ZT法求y(n) 令F(z)?Y(z)zn?1zn?1zn?1?? ?1?1?1?az??1?bz?(z?a)(z?b)n?0,c内有极点a,b
因为系统是因果系统，n?0,y(n)?0，最后得到