rsin??z?1(d) H(z)?

1?rcos??z?1?rcos??z?1?r2sin2??z?2?r2cos2??z?26. 写出图中流图的系统函数。图f 解：

112?z?1?22?z?142(f) H(z)? ?1?13?21?13?21?z?z1?z?z48488．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)??(n)??(n?1)??(n?4)，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公

式。 解：

已知频率采样结构的公式为 式中，N=5

它的频率采样结构如题8解图所示。

6.2 教材第六章习题解答

1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp?6kHz，通带最大衰减ap?3dB，阻带截止频率fs?12kHz，阻带最小衰减as?3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。 解：

（1）求阶数N。

将ksp和?sp值代入N的计算公式得

所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。） （2）求归一化系统函数Ha(p)，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(p)为 或 Ha(p)?1

(p2?0.618p?1)(p2?1.618p?1)(p?1)当然，也可以按（6.12）式计算出极点: 按（6.11）式写出Ha(p)表达式

代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数

Ha(s)。

由于本题中ap?3dB，即?c??p?2??6?103rad/s，因此 对分母因式形式，则有

如上结果中，?c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp?3kHz，通带最在衰减速

ap?0.2dB，阻带截止频率fs?12kHz，阻带最小衰减as?50dB。求出归一化传输函数Ha(p)和实际的Ha(s)。

解：

（1）确定滤波器技术指标： （2）求阶数N和?：

为了满足指标要求，取N=4。 （2）求归一化系统函数Ha(p) 其中，极点pk由(6.2.38)式求出如下：

（3）将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)

其中sk??ppk?6??10pk,k?1,2,3,4，因为p4?p?1,p3?p?2，所以

3s4?s?1,s3?s?2。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数

全为实数。

4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为： (1)Ha(s)?s?a； 22(s?a)?bb。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变

(s?a)2?b2(2)Ha(s)?法，分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解：

该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，

解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。 （1）Ha(s)?s?a

(s?a)2?b2Ha(s)的极点为：

将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）： 比较分子各项系数可知：

A、B应满足方程： 解之得 所以

按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2） Ha(s)?b 22(s?a)?bHa(s)的极点为：

将Ha(s)部分分式展开： 通分并化简整理得

5. 已知模拟滤波器的传输函数为： （1）Ha(s)?1；

s2?s?11试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波

2s2?3s?1（2）Ha(s)?器，设T=2s。 解：

（1）用脉冲响应不变法

方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为： 代入T=2s

方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：

Ha(s)?由于 所以

对比可知，a?b?c,c为一常数， 22(s?a)?b13，套用公式得 ,b?22或通分合并两项得

（2）用双线性变换法

7. 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)?Ha(s)s?z?1z?1，数字滤波器

H(z)的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。

（1）w?0 (低通)； （2）w??（高通）；

（3）除0或?外的某一频率（带通）。 解：

按题意可写出 故 即

原模拟低通滤波器以??0为通带中心，由上式可知，??0时，对应于w??，故答案为（2）。 9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2?rad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3?到?之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。 解：

本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为： （1）求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p)：

取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为： 将Ha(p)部分分式展开： 其中，系数为：

（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。

我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率?c。 其中Bk??cAk,sk??cpk。

（3）用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：

我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。 N较大时，部分分式展开求解系数A或B相当困难，

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