2010年广州市高二数学竞赛试题

2010.5.9 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；

⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线x?ay?1?0(a?R)与圆x2?y2?4x?0的交点个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D.无数个

2. 今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展 募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数是( ). A．4800元 B．8000元 C．9600元 D．11200元 3. 函数f?x??cos2x?sinx(x?R)的最大值和最小值分别为 A. ,0 B.

78799,?2 C. ,0 D. ,?2 8882224. 若点?a,b?是圆x??y?1??1内的动点,则函数f?x??x?ax?b的一个零点在

??1,0?内, 另一个零点在?0,1?内的概率为 A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分． 5. 已知大于1的实数x,y满足lg?2x?y??lgx?lgy, 则lgx?lgy的最小值为 .

6. 将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后

拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .

1112 B. C. D. 42??图17. 设a、b、c都是单位向量，且a?b＝0， 则?a?b???b?c?的最大值为 .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

8. 对于两个正整数m,n，定义某种运算“?”如下，当m,n都为正偶数或正奇数时，

m?n?m?n；当m,n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m?n?mn，则在此定义下， 集合

M???p,q?p?q?10,p?N*,q?N*?中元素的个数是 .

?1?9. 设Sn是数列?an?的前n项和，若a1?3,anan?1???(n?N*)，则S2010?____________.

?2?10. 在Rt△ABC中,AB?AC?1,如果椭圆经过A,B两点,它的一个焦点为C,另一个焦 点在AB上,则这个椭圆的离心率为 .

三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）

n?????273??? 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知C?2A,cosA?,BA?BC?.

42 (1) 求cosB的值； （2）求b的值.

12．（本小题满分15分）

如图，已知二面角??l??的平面角为45, 在半平面?内有一个半圆O, 其直径AB在l上, M是这个半圆O上任一点(除A、B外), 直线AM、BM与另一个半平面?所成的 角分别为?1、?2. 试证明cos2?1?cos2?2为定值.

13. (本小题满分20分）

?M?lAB? 如图, 矩形ABCD中, AB?10, BC?6, 现以矩形ABCD的AB边为x轴, AB的中点为原点建立直角坐标系, P是x轴上方一点, 使得PC、PD与线段AB分别交于点C1、D1, 且AD1,DC11,C1B成等比数列. (1) 求动点P的轨迹方程；

(2) 求动点P到直线l:x?y?6?0距离 的最大值及取得最大值时点P的坐标．

C1OPyBD1A

14．（本小题满分20分）

设a?0，函数f(x)?x2?a|lnx?1|.

(1)当a?1时，求曲线y?f(x)在点1,f?1?处的切线方程； (2)当x?[1,??)时，求函数f(x)的最小值.

15．（本小题满分20分）

已知定义在R上的函数f(x)满足：f(1)???5，且对于任意实数x、y， 2 总有f(x)f(y)?f(x?y)?f(x?y)成立. （1）求f(0)的值，并证明f(x)为偶函数；

（2）若数列{an}满足an?2f(n?1)?f(n)(n?1,2,3,?)，求数列{an}的通项公式；

（3）若对于任意非零实数y，总有f(y)?2.设有理数x1,x2满足|x1|?|x2|，判断f(x1)和f(x2) 的大小关系，并证明你的结论.

2010年广州市高二数学竞赛试题

参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生

的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，

可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：每小题6分，满分24分.

1．C 2．B 3．D 4．A

二、填空题：每小题6分，满分36分.

100519??1??825. 3lg2 6. 7. 1?2 8. 13 9. ?1???? 10.

3?3??2???6?3 三、解答题：满分90分． 11. （本小题满分15分） 解: (1)∵ C?2A,cosA?3?0, 421?3?2 ∴ cosC?cos2A?2cosA?1?2????1??0.

8?4? ∵ 0?A??,0?C??,

?? ∴ 0?A?,0?C?.

2237722 ∴ sinA?1?cosA?,sinC?1?cosC?. 84 ∴ cosB?cos?????A?C?????cos?A?C?

???cosAcosC?sinAsinC?

9. 16????????2727 (2) ∵ BA?BC?, ∴ accosB?.

22accc??? ∴ ac?24. ∵ , sinAsinCsin2A2sinAcosA2??a?4,c2?a?c,?c. 由? ∴a? 3 解得?2cosA3c?6.???ac?24. ?222 ∴ b?a?c?2accosB?4?6?2?24?229?25. 16 ∴ b?5.

12. （本小题满分15分）

证明：过M作MH??，H为垂足，在?内，作MK?AB，K为垂足， 连接KH,AH,BH，则?MAH??1,?MBH??2.

∵MH??,AB??, ∴MH?AB.

∵MK?MH?M,MK?平面MHK，MH?平面MHK， ∴AB?平面MHK. ∵HK?平面MHK， ∴AB?HK.

∴?MKH是二面角??l??的平面角.

A?MKBl

∴?MKH?45.

?2MK. 2 在Rt?AMB中，AM2?AK?AB,BM2?BK?AB,MK2?AK?BK.

MHMH,sin?2?在Rt?MHA和Rt?MHB中，sin?1?. AMMB ∴MH?MH2MH2MK2MK2??∴sin?1?sin?2? ?222AK?AB2BK?ABAMMB22AK?BKAK?BK?

2AK?AB2BK?ABBK?AK ?

2ABAB1?. ?2AB2322∴cos2?1?cos2?2?2?(sin?1?sin?2)?

2 ?

13. （本小题满分20分）

解：（1）设点P的坐标为?x,y??y?0?，过P作PE//CD交DA的延长线于E，交CB的延

长线于F. 6在?DPE中, , 得， ??5?x6?yPEDE得D1A?D1ADAD1Ay6?5?x?. 6?yFPEy?在?PCD中, , ??CDPDED6?y得C1D1?C1D1PD1EABC1OD1Ax10y. 6?yC10Dy866?5?x?同理可得C1B?. 6?y∵ AD1,DC11,C1B成等比数列， ∴ D1C1?AD1?C1B. -10-5422Ol-25x101520