6?5?x?6?5?x??10y???∴ ?. ?6?y6?y?6?y?2x2y2??1?y?0?. 化简得

259x2y2??1?y?0?. ∴ 动点P的轨迹方程为

259(2)由图易知当与直线l平行的直线与半椭圆相切于点P时，点P到直线l距离的最大.

x2y2??1， 设与直线l:x?y?6?0平行的直线方程为x?y?k?0，代入

259得 34x?50kx?25k?225?0，①

22由??2500k?3400k?9?0，

22??2解得k?34，由k?0，得k??34.

故点P到直线l距离的最大值为k?62??34?62?32?17.

把k??34代入①式，可解得点P的坐标为??

14. （本小题满分20分）

?2534934?,. ??34??342解:（1）当a?1时，f(x)?x2?|lnx?1|，当x?e时，f(x)?x?lnx?1,f?(x)?2x?1 x令x?1，得f(1)?2,f?(1)?1, 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

所以曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为：x?y?1?0. （2）①当x?e时，f(x)?x2?alnx?a，f?(x)?2x?a (x?e). x?a?0，?f(x)?0恒成立. ?f(x)在[e,??)上为增函数.

故当x?e时，ymin?f(e)?e.

2 ②当1?x?e时，f(x)?x?alnx?a，f?(x)?2x?2a2aa?(x?)(x?)（1?x?e） xx22 (ⅰ)当

a?1,即0?a?2时，若x?(1,e)时，f?(x)?0，所以f(x)在区间[1,e)上为增函数.故当x?1时，2ymin?1?a，且此时f(1)?f(e).

aa?e，即2?a?2e2时，若x?(1,)时，f?(x)?0; 22a,e)时,f?(x)?0, 若x?(2(ⅱ)当1?

aa)上为减函数，在(,e]上为增函数， 22aa3aaa?ln，且此时f()?f(e). 故当x?时，ymin?22222a(ⅲ)当?e；即a?2e2时，若x?(1,e)时，f?(x)?0,所以f(x)在区间[1,e]上为减

2函数，故当x?e时，ymin?f(e)?e2. 综上所述，当a?2e2时，f(x)在[e,??)和[1,e)上的最小值都是e2,

所以f(x)在区间[1, 所以f(x)在?1,???上的最小值为f(e)?e2；

a3aaaa)??ln，而f()?f(e)， 22222a3aaa)??ln. 所以f(x)在?1,???上的最小值为f(2222当0?a?2时，f(x)在[e,??)时最小值为e2，在[1,e)时的最小值为f(1)?1?a， 而f(1)?f(e), 所以f(x)在?1,???上的最小值为f(1)?1?a.

当2?a?2e2时，f(x)在[1,e)时的最小值为f(所以函数y?f(x)的最小值为ymin?1?a,?3aaa????ln,2?222e,??0?a?2,2?a?2e2, a?2e2.15.（本小题满分20分）

解:（1）令x?1,y?0，?f?1??f?0??f?1??f?1?，又?f(1)?5，?f?0??2. 2令x?0，得 f(0)f(y)?f(y)?f(?y)，即2f(y)?f(y)?f(?y)

?f(y)?f(?y)对任意的实数y总成立， ?f?x?为偶函数. （2）令x?y?1，得 f?1?f?1??f?2??f?0?，? ?a1?2f(2)?f(1)?2517?f(2)?2，?f(2)?. 44175??6. 22令x?n?1,y?1，得f(n?1)f(1)?f(n?2)?f(n)，

?f(n?2)?5f(n?1)?f(n). 2?5??an?1?2f?n?2??f?n?1??2?f?n?1??f?n???f?n?1??4f?n?1??2f?n??2??2[2f(n?1)?f(n)]?2an(n…1).

?{an}是以6为首项，以2为公比的等比数列. ∴an?6?2n?1.

（3）结论：f(x1)?f(x2).

证明：∵y?0时，f(y)?2,

∴f(x?y)?f(x?y)?f(x)f(y)?2f(x)，即f(x?y)?f(x)?f(x)?f(x?y). ∴令x?ky（k?N+），故?k?N+，总有f[(k?1)y?]f(ky?)f(k?y)成立. f?[(ky 则

f[(k?1)y]?f(ky)?f(ky)?f[(k?1)y]?f[(k?1)y]?f[(k?2)y]???f(y)?f(0)?0∴对于k?N+，总有

f[(k?1)y]?f(ky)成立.

∴对于m,n?N+，若n?m，则有f(ny)?f???n?1?y?????f(my)成立. ∵x1,x2?Q，所以可设|x1|?q1q,|x2|?2，其中q1,q2是非负整数，p1,p2都是正整数， p1p2则|x1|?q1p2pq1，t?q1p2,s?p1q2，则t,s?N+. ,|x2|?12，令y?p1p2p1p2p1p2∵|x1|?|x2|，∴t?s，∴f(ty)?f(sy)，即f(|x1|)?f(|x2|). ∵函数f(x)为偶函数，∴f(|x1|)?f(x1),f(|x2|)?f(x2).

∴f(x1)?f(x2).