第二节 导数的应用
A组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·四川，6)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A.－4 C.4
B.－2 D.2
2.(2015·陕西，9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)( ) A．既是奇函数又是减函数 C．是有零点的减函数
B．既是奇函数又是增函数 D．是没有零点的奇函数
3.(2015·安徽，10)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0 C．a<0，b<0，c>0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0
4.(2014·新课标全国Ⅱ，11)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] C．[2，＋∞)
B．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
5.(2014·湖南，9)若0＜x1＜x2＜1，则( ) A．e
x2－e1＞ln x2－ln x1
xx2xB．e
x2－e1＜ln x2－ln x1
xx2xC．x2e1＞x1e D．x2e1＜x1e
6.(2014·新课标全国Ⅰ，12)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( ) A．(2，＋∞) C．(－∞，－2)
B．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
7.(2016·新课标全国卷Ⅱ，20)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1). (1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围. 8.(2016·新课标全国Ⅲ，21)设函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性；
x－1(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1< ln x (3)设c>1，证明：当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx. 9.(2016·山东，20)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值.求实数a的取值范围. 1e 10.(2016·四川，21)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－x，其中a∈R，e＝2.718…为自然对 xe数的底数. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x>1时，g(x)>0； (3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立. 11.(2016·北京，20)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围； (3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.(2015·新课标全国Ⅱ，21)已知f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 13.(2015·新课标全国Ⅰ，21)设函数f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； 2 (2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln. a (x－1)2 14.(2015·福建，22)已知函数f(x)＝ln x－. 2(1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1； (3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)＞k(x－1)． 15.(2015·浙江，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千 米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 a y＝2(其中a，b为常数)模型． x＋b(1)求a，b的值； (2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度． 16.(2015·湖南，21)已知a>0，函数f(x)＝aexcos x(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点． (1)证明：数列{f(xn)}是等比数列； (2)若对一切n∈N*，xn≤|f(xn)|恒成立，求a的取值范围． x2 17.(2015·山东，20)设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝x. 已知曲线y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切 e线与直线2x－y＝0平行． (1)求a的值； (2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由； (3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值． 18.(2015·浙江，20)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)． a2 (1)当b＝＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式； 4(2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围． 19.(2015·天津，20)已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g(x)， 求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)； a (3)若方程f(x)＝a(a为实数)有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2－x1≤－＋43. 320.(2015·广东，21)设a为实数，函数f(x)＝(x－a)2＋|x－a|－a(a－1)． (1)若f(0)≤1，求a的取值范围； (2)讨论f(x)的单调性； 4 (3)当a≥2时，讨论f(x)＋在区间(0，＋∞)内的零点个数． x21.(2014·安徽，20)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 11 22.(2014·广东，21)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)． 3(1)求函数f(x)的单调区间； 1110，?∪?，1?，使得f(x0)＝f??. (2)当a＜0时，试讨论是否存在x0∈??2??2??2?2 23.(2014·天津，19)已知函数f(x)＝x2－ax3(a＞0)，x∈R. 3(1)求f(x)的单调区间和极值； (2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1.求a的取值范围． m 24.(2014·陕西，21)设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. x(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； x (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数； 3 f(b)－f(a) (3)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围． b－a 1－a2 25.(2014·新课标全国Ⅰ，21)设函数f(x)＝aln x＋x－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1, f(1)) 2处的切线斜率为0. (1) 求b； (2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜ a ，求a的取值范围． a－1 B组 两年模拟精选(2016～2015年) 12 －?，f??的大小关系是1.(2016·河北保定第二次模拟)已知函数f(x)＝x2－2cos x，则f(0)，f??3??5?( ) 12 －? C.f??5? 12 －? 2.(2016·云南师大附中检测)若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( ) 51 －∞，? A.?8?? 51?C.??8，＋∞? B.(－∞，3] D.[3，＋∞)