专题28 函数与角

破解策略

1、特殊角问题

（1）运用三角函数值；

（2）遇45°构造等腰直角三角形； （3）遇30°，60°构造等边三角形； （4）遇90°构造直角三角形． 2、角的数量关系问题

（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； （2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； （3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角． 例题讲解

例1、如图，抛物线

与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D在抛

物线上且横坐标为3，连结CD，CB，BD．P是抛物线上的一个动点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．

yyCDPCDEAOBxAFOBx

解：如图，过点D作DE⊥BC于点E． 设抛物线上点P的坐标为（m，令

，解得

），过点P作PF⊥AB于点F． ．

所以点A的坐标为（－1，0），B的坐标为（4，0）．

当x＝0时，y＝4，所以点C的坐标为（0，4）． 当x＝3时，y＝4，所以点D的坐标为（3，4）． 所以OB＝OC，CD∥AB．

所以∠ABC＝∠BCD＝∠EDC＝45°． 在Rt△CED中，有CE＝DE＝CD，

因为，所以BE＝．所以tan∠DBC＝．

若∠PBD＝45°＝∠ABC，则∠PBF＝∠DBC，

所以tan∠PBF＝＝tan∠DBC，即

．

2

，解得m1＝，m2＝4（舍）．

所以满足条件的P点的坐标为

例2 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x－4x＋3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交

于点C．若抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标．

解：

由已知条件可得A（1，0），B（3，0），C（0，3）． 可设△ABC外接圆的圆心为D（2，m），

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则DC＝DA，即1＋m＝4＋（m－3）， 解得m＝2，

所以外接圆的圆心为D（2，2），则DA＝

．

如图，该圆交抛物线对称轴于点P1，作P1关于x轴的对称点P2，则P1，P2即为所求． 所以点P的坐标为

或

．

2

例3如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x－2x－3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的顶

点为D，直线y＝交y轴于点E，求∠EBC－∠CBD的度数．

解：如图，过点D作DH⊥y轴于点H． 由已知条件可得A（－1，0），B（3，0），C（0，－3），D（1，－4），E（0，1）． 因为

，且∠COB＝∠CHD＝90°，

所以△OBC∽△HCD，∠OCB＋∠HCD＝90°， 所以∠BCD＝90°，

＝3．

在Rt△BOE中，tan∠EBO＝， 所以∠EBO＝∠CBD．

所以∠EBC－∠CBD＝∠ABC＝45°．

2

例4 在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝ax＋2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB＝90°，结合图像，求a的取值范围．

解 抛物线y＝ax＋2ax－3a＝a（x＋3）（x－1）＝a（x＋1）－4a，

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