三元线性方程组的几何解法

任春丽，王金金

（西安电子科技大学理学院数学系，陕西 西安 710071 ）

线性方程组是线性代数中重要的内容，其解的结构在线性代数课程中已通过向量及矩阵

理论讨论的非常清楚，但在教材中很少提及几何意义．由于三元线性方程表示空间中的平面，因

此，通过平面图形之间的位置关系求解线性方程组，不仅形象、直观，而且为从三维空间抽象的

代数问题推广到n维空间奠定了基础。文献[2]

用矩阵的秩判别了空间中平面、直线之间的位置关系；相反的，本文利用空间中平面、直线之间

的位置关系讨论了三元线性方程组解的情况，并举例说明。 1．两个方程的三元线性方程组

设方程组(Ⅰ)： ??A1x?B1y?C1z?D1?1x?B(两个平面) ?A22y?C2z?D2?2讨论：令?i＝(Ai,Bi,Ci,Di)(i?1,2),

ni＝(Ai,Bi,Ci) (i?1,2)

(1)若?A1B1//?2,即A?1?C1?D1，则2B2C2D2?1与?2重合，方程组(Ⅰ)有无穷多解；

(2)若n1//n2,?1//?2,即A1?B1?C1?D1AB,

22C2D2则?1与?2平行但不重合，方程组(Ⅰ)无解；

(3)若n1//n2,则?1与?2相交，方程组(Ⅰ)有无穷多解，其解为相交直线上的所有点。 例1 求解下列线性方程组

(1)??3x?6y?3z?8；(2)???x?2y?z?3?x?2y?z?7??2x?y?z?4. 解（1）因为

3?1?6?38?2?1?3,所以两个平 面平行但不重合，故方程组无解；

(2) 因为n1?n2?(1,2,?1)?(?2,1,1)?(3,1,5)?0,所以两个平面相交于直线L, 故方程组有无穷多解。又点(1,4,2)在L上，故直线L的参数方程

?x?1?3t,为：??y?4?t,即是方程组的通解。

??z?2?5t.2．三个方程的三元线性方程组 设方程组 (Ⅱ ) ： ??A1x?B1y?C1z?D1?1?A?2x?B2y?C2z?D2?2(三个平面) ?A3x?B3y?C3z?D3?3讨论：令?i＝(Ai,Bi,Ci,Di)(i?1,2，3),

ni＝(Ai,Bi,Ci) (i?1,2，3)。

(1)若?i(i?1,2,3)中至少有两个平行，则至

少有两个平面重合，其解的讨论同第1目；

(2)若ni(i?1,2,3)中至少有两个平行，但相

应的?i//?j(i?j)，则至少有两个平面平行但不重合，方程组(Ⅱ)无解；

(3)若ni//nj(i?j),则三个平面两两相交，方程组(Ⅱ)可能有解，也可能无解。进一步：求

出??x?x0?mt,1与?2的交线L的参数式方程： ??y?y?nt,

?0?z?z0?pt. 如果L//?3，但点(x0,y0,z0)不在?3上，则方程组(Ⅱ)无解；如果L//?3，且点(x0,y0,z0)在?3上，则方程组(Ⅱ)有无穷多解，其解为直线

上的所有点；如果L//?3，则L与?3相交，方程组(Ⅱ)有唯一解，即L与?3的交点。

?x?y??1,例2 求解线性方程组 ??2x?z?0,

??2x?y?z?6. 解 显然ni//nj,又?1与?2的交线L的方向

向量 s?n1?n2?(1,?1,0)?(2,0,?1)?(1,1,2)，

?x?2?t,点(2,3,4)在L上，所以L的方程： ??y?3?t,??z?4?2t.代入平面?3得： t??1，故方程组的解为

(1,2,2)。

??x?y?z???例3 设线性方程组?3,?x??y?z??2,讨

??x?y??z??2.论：?取何值时方程组无解，有无穷多解，有唯一解？

解 显然??1时，三个平面?i(i?1,2,3)重合，方程组有无穷多解；

当??1时，?i(i?1,2,3)互不平行，故两两相交。设?2与?3的交线为L，则方向向量

s?(1,?,1)?(1,1,?)?(??1)(??1,?1,?1)?0。

若L//?21，则s?n1＝0，即?＋?－2＝0，

解得???2，??1(舍去），这时方程组无解； 若L//?21，则?＋?－2?0，得???2，

??1，这时方程组有唯一解。

综上讨论:???2时,方程组无解；???2，??1时，方程组有唯一解；??1时，方程组有无穷多解。

3．四个方程的三元线性方程组 设方程组(Ⅲ)：

??A1x?B1y?C1z?D1?1??A2x?B2y?C2z?D2?2B(四个平面) ?A3x?3y?C3z?D3?3??A4x?B4y?C4z?D4?4讨论：令?i＝(Ai,Bi,Ci,Di)(i?1,2，3,4), ni＝(Ai,Bi,Ci) (i?1,2，3,4).

(1)若?i(i?1,2,3,4)中至少有两个平行，则至少有两个平面重合，其解的讨论同第1目或第2目；

(2)若ni(i?1,2,3,4)中至少有两个平行，但相应的?i//?j(i?j)，则至少有两个平面平行，方程组(Ⅲ) 无解；

(3)若ni//nj(i?j),则四个平面两两相交。求出?1与?2的交线L1，?3与?4的交线L2。进一步讨论：

如果L1//L2，但不重合，则方程组(Ⅲ)无解；如果L1//L2，并且重合，则方程组(Ⅲ)有无穷多解，其解为直线上的所有点；如果L1//L2，且两直线共面（即相交），方程组(Ⅲ)有唯一解，否则，两直线异面（即不相交），方程组(Ⅲ)无解。

??x?2y?z?7,?2x?y?z?7, 例 4 确定方程组 ???3x?6y?3z?8,解的

??2x?y?z?0个数。

解 显然?1//?2,故相交于直线L1，方向向量 s1?n1?n2?(3,1,5)，并过点M(1,5,4)；

?3//?4,故相交于直线L2，方向向量

s2?n3?n4??3(3,1,5)。所以L1//L2,又点M

不在L2上，故方程组无解。

通过文中的讨论及举例看到，三元线性方程组的解实际上是平面的交点或交线。因此，方程组的解具有直观的几何意义。

考文献

[1]. 俞正光等编. 线性代数与解析几何[M].北京:清华大学出版社.

[2]. 安芹力. 用矩阵的秩判断两空间直线及直线与平面的位置关系.高等数学研究[J]. 2005(3): 54-55.