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解得a≥－，
2
?9?
故a的取值范围为?－，＋∞?.
?2?
1
跟踪演练2 (1)(0,1] (2)(－，＋∞)
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解析 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由
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f′(x)＝x－≤0，解得0 x(2)对f(x)求导， 得f′(x)＝－x2＋x＋2a 11 ＝－(x－)2＋＋2a. 24 2 当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为 322 f′()＝＋2a. 3921令＋2a>0，解得a>－. 99 1 所以a的取值范围是(－，＋∞)． 9 例3 解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， p2px2－2x＋pf′(x)＝p＋2－＝. xxx2 由条件知f′(x)≥0在(0，＋∞)内恒成立， 2x即p≥2恒成立． x＋1 2x2x2x而2≤＝1，当x＝1时等号成立，即2的最大值为1， x＋12·x·1x＋1所以p≥1，即实数p的取值范围是[1，＋∞)． (2)设h(x)＝f(x)－g(x)，则已知等价于 h(x)>0在[1，e]上有解， 即等价于h(x)在[1，e]上的最大值大于0. p22e因为h′(x)＝p＋2－＋2 xxxpx2＋p＋2?e－x?＝>0， x2 所以h(x)在[1，e]上是增函数， 所以h(x)max＝h(e)＝pe－－4>0， e p解得p> 4e . 2 e－1 4e ，＋∞)． e－1 2 所以实数p的取值范围是( (3)已知条件等价于f(x)max>g(x)min. 当p≥1时，由(1)知f(x)在[1，e]上是增函数， 所以f(x)max＝f(e)＝pe－－2. e 1±1－p2 p当0 p， 可知f(x)在(1， 1＋1－p2 p)上是减函数，在( 1＋1－p2 p，e)上是增函数． 若f(x)max＝f(1)＝0，由于g(x)min＝2，所以此时无解． 所以f(x)max＝f(e)＝pe－－2>0. e p综上可知，应用pe－－2>2， e4e 解得p>2. e－1 4e ，＋∞)． e2－1 p所以实数p的取值范围是( 跟踪演练3 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， －2ax＋ax＋1 22 f′(x)＝ x. 因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点， 所以f′(1)＝1＋a－2a＝0， 1 解得a＝－(舍去)或a＝1. 2 经检验，当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点， 所以a＝1. (2)当a＝0时，f(x)＝ln x，显然在定义域内不满足f(x)<0； 当a>0时， ?2ax＋1??－ax＋1? 2 令f′(x)＝ x1 ＝0，得 x1＝－(舍去)，x2＝， 2aa所以f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 1 x 1(0，) 1aa 1(，＋∞) af′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值 11 所以f(x)max＝f()＝ln <0， aa所以a>1. 综上可得a的取值范围是(1，＋∞)． 高考押题精练 解析 y＝f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝f′(x0)＝.∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代 1 1 x0x0 11入切线方程得y0＝1，则x0＝e，∴k＝＝. x0e22．－ 3 解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ?3＋2a＋b＝0， f′(1)＝0，f(1)＝10，即?2 ?1＋a＋b－a－7a＝10， ?a＝－2，解得? ?b＝1 或