算法设计与分析基础第二版课后答案

【篇一：算法设计与分析基础课后习题答案(中文版)】

class=txt>习题1.1

5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立. hint:

根据除法的定义不难证明:

?如果 d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.

对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)

6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次? hint: 对于任何形如0=m gcd(m,n)=gcd(n,m)

并且这种交换处理只发生一次.

7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, euclid算法最少要做几次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, euclid算法最多要做几次除法?(5次)gcd(5,8)

习题1.2 1.(农夫过河 )

p—农夫w—狼 g—山羊 c—白菜 2.(过桥问题) 1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒

4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法quadratic(a,b,c)

//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法 //输入:实系数a,b,c //输出:实根或者无解信息 if a≠0

d←b*b-4*a*c if d0 temp←2*a

x1←(-b+sqrt(d))/temp x2←(-b-sqrt(d))/temp return x1,x2

else if d=0 return –b/(2*a) else return “no real roots” else //a=0 if b≠0 return –c/b else //a=b=0

if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”

5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法 a.用文字描述 b.用伪代码描述 解答： a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n

输出：正整数n相应的二进制数

第一步：用n除以2，余数赋给ki(i=0,1,2...)，商赋给n 第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步 第三步：将ki按照i从高到低的顺序输出 b.伪代码

算法 dectobin(n)

//将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入：正整数n

//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组bin[1...n]中 i=1 while n!=0 do { bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i++; } while i!=0 do{ print bin[i]; i--; }

9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做

尽可能多的改进. 算法 mindistance(a[0..n-1]) //输入:数组a[0..n-1] //输出:the smallest distance d between two of its elements 习题1.3

1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利

用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去 .

a.应用该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序 b.该算法稳定吗? c.该算法在位吗? 解:

a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所示 :

b.该算法不稳定.比如对列表‖2,2*‖排序 c.该算法不在位.额外空间for s and count[] 4.(古老的七桥问题) 习题1.4

1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i个元素(1=i=n) b.删除有序数组的第i个元素(依然有序) hints:

a. replace the ith element with the last element and decrease the array size of 1

b. replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the ith position is empty. (―lazy deletion‖) 第2章 习题2.1

a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率 1

则：()t(n)?g(n) for all n≥n0 f(n)? c ?

t2(n)≥c2g2(n)for all n=n2, where c20 那么，取c=min{c1,c2},当n=max{n1,n2}时：

t1(n)+ t2(n)≥c1g1(n)+ c2g2(n) ≥c g1(n)+c g2(n)≥c*g1(n)+ g2(n)+ ≥cmax, g1(n), g2(n)- 所以以命题成立。

证明：由大?的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n=n0，有：

c1max((g1(n),g2(n))?t1(n)?t2(n)?max(g1(n),g2(n)) (1)

(2) (1)+(2):

a1*g1(n)+ b1*g2(n)=t1(n)+t2(n) = a2*g1(n)+ b2*g2(n) 令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，则 c1*(g1+g2)= t1(n)+t2(n) =c2(g1+g2)-----(3) 不失一般性假设max(g1(n),g2(n))=g1(n). 显然，g1(n)+g2(n)

又g2(n)0，g1(n)+g2(n)g1(n),即g1+g2max(g1,g2)。 则（3）式转换为：

c1*max(g1,g2) = t1(n)+t2(n) =c2*2max(g1,g2) 所以当c1＝

min(a1,b1),c2＝2c2=2max(c1,c2)，n0＝max(n1,n2)时，当n=n0时上述不等式成立。 证毕。 习题2.4

1. 解下列递推关系 （做a,b） a. ?x(n)?x(n?1)?当5n1时 ? ?x(1)? 解：0 b. ??

x(n)?3x(n?当1)n1时 ?x(1)? 4 解：