2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 计数原理的基本应用

例1 某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

A．3种 B．6种 C．9种 D．18种 【答案】 C.

【解析】 可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有

21C2?C3?31C2?C32?6种不同

种不同的选法．所以根据分

类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共

有9种．故选：C

【易错点】注意先分类再分步

【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置

例1 将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,B均在C的同侧，则不同的排法有（ ）种.（用数字作答） 【答案】 480

【解析】考虑到A,B,C要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排D,E,F3?120种排法；再考虑A,B,C的情况：C在最左端有2种排法，最右端也是2三个字母，有A6种排法，所以答案是120?4?480种. 【易错点】注意特殊元素的考虑

【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高. 题型三 捆绑型问题以及不相邻问题

例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）个.

A．72种 B．96种 C．108种 D．144种 【答案】 C

【解析】要求是偶数，所以先确定末尾数字，有2，4，6一共3种情况；然后再确定5这个特殊数字的位置，本身有5种情况，但是考虑到要与1，3不相邻，所以根据5的左右两侧情况，分为5这个特殊数字在十万位以及十位（只有1个相邻的位置），以及其它的3个位置；然后

1113122?(C2C2A3?C3A2A2）?108种. 再考虑后面的情况.分析清楚情况后，答案就出来了：C3【易错点】需要考虑到不同位置对于后面步骤的不同影响，进行分类讨论.

【思维点拨】对于相邻问题的捆绑法，以及不相邻问题的隔离法，需要考虑到先分类再分步的基本原则，以及瞻前顾后的原则，需要考虑到选择的不同带来的对于后续安排的不同影响.对于本题，5这个数字本身有五种安排方法，但是需要注意到五个位置带来的，相邻位置的不同：如果5这个数字在首位，以及在十位时，只有1个邻位；但是如果在其它位置，就有两个邻位，所以需要分开讨论.

【巩固训练】

题型一 计数原理的基本应用

1.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A．24种 B．18种 C．12种 D．9种 【答案】B

【解析】这是个分步计数的灵活应用。注意一下问题的分析，从E到F的步骤，水平方向的情况确定了，整体的路径也就确定了。水平方向如果沿一条路，有3种可能；如果沿两条路，有3种可能（注意由于要求最短路径，所以没有顺序）：所以从E到F有3+3=6种情况；而从F到

G有3种可能，所以可能的情况一共有3*6=18种情况。

2.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方

式共有（ ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】 D

【解析】 首先确定事情如何安排：要满足条件要求，得有1个人选择2项工作.哪两项工作C42,

1212C3A2?36种情况. 哪个人来做C3，剩下2个人2项工作A22：所以总的安排形式共有C43.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 【答案】A

【解析】首先确定事情如何安排：安排好甲地的情况，乙地也就唯一确定了.对于甲地的安排，

12C4?12种情况. 需要1名教师2名学生，所以共有C2题型二 特殊元素以及特殊位置

1.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为

A．72种 B．120种 C．192种 D．240种 【答案】 D

【解析】 注意到题中要求得到的是偶数，所以特殊位置为末位，要求末位是个偶数；另外注意到题中给出的数字，有两个4，所以需要考虑到特殊元素4以及特殊位置末位；如果末位数

5?120种情况；如果末位数字不是4，则必然是2，字为4，则前面元素可以任意排列，共有A56中选择1个，前面的数字中，两个4是没有先后顺序的，或者只排列剩余的3个数字即可，

13A5?120种情况；两者合在一起，所以最后的答案为D. 所以有C22.我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”（如2014是“北斗数”），则“北斗数”中千位

为2的共有 （ ）个 . 【答案】21

【解析】给出的是个新定义，但是难度不大，需要认真读题仔细分析。千位为2，要求后三位的和为5，三个数都相同的不存在，有两位相同的005，113，221，考虑先安排特殊的元素（如005为例，5的位置有3种情况，5排定后，就唯一确定了，所以有3种情况）各有3种，所

3?6种情况，以有3*3=9种情况；三个元素都不相同的有014，023两种，进行全排列，各有A3共有2*6=12种情况。综合可知，符合要求的所谓“北斗数”共有9+12=21种情况.