５－３ 正定二次型与正定矩阵
复习：５．２．４： ｎ元二次型
ＴＴＴ２２２
ｆ＝ＸＡＸ＝＝＝＝＝＝ｙ（ＣＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１＋ｄ２ｙ２＋…＋ｄｒｙｒ
Ｔ
（Ａ＝Ａ） 其中：ｄｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｒ≤ｎ。 ｎ元二次型经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为如下标准形：
ＴＴＴ２２２２
ｆ＝ＸＡＸ＝ｙ（ＣＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１＋…＋ｄｐｙｐ－ｄｐ＋１ｙｐ＋１－…－ｄｒｙｒ
Ｔ
（Ａ＝Ａ） 其中：ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｐ≤ｒ≤ｎ。 再作满秩线性变换：
1?y?z1?1d1?????yr?1zr ?，
dr??yr?1?zr?1?????yn?zn化ｆ为规范形：ｆ＝ｚ１＋…＋ｚｐ－ｚｐ＋１－…－ｚｒ，０≤ｐ≤ｒ≤ｎ，ｒ＝秩（Ａ）。
２
２
２
２
一、正定二次型与正定矩阵的概念
定义５．３［Ｐ205：－３行至P206：１行］换个方式讲
ＴＴ
设ｆ（Ｘ）＝ＸＡＸ（Ａ＝Ａ）是一个ｎ元实二次型，如果对每一个非零ｎ维
ＴＴ
实列向量Ｘ０＝（ｃ１，ｃ２，…，Ｃｎ），都有Ｘ０ＡＸ０＞０，则称ｆ为正定二次型，称Ａ为正定矩阵。 思考题（１）［Ｐ２０９］： 作业：Ｐ２１６：１２（讲）：如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，则Ａ＋Ｂ也是正定矩阵。 Ｐ２６３：证明题：２
二、二次型为正定二次型的充要条件（五个）： １、定理５．３ ｎ元实二次型ｆ为正定二次型 ?ｆ的正惯性指数ｐ＝ｎ
［即：ｆ的正惯性指数ｐ＝ｆ的秩ｒ＝ｆ的变元个数ｎ］
２２２
?ｆ的规范形为：ｚ１＋ｚ２＋…＋ｚｎ。
作用：化实二次型为标准形，据系数为正的平方项的个数判断ｆ的正定性。 例：P202例５．４中，３元实二次型ｆ的标准形为：２ｙ１＋３ｙ２＋
２
２
5２
ｙ３，ｆ的正3惯性指数为３，所以ｆ正定。
２２
例：P203例５．５中， ３元实二次型ｆ的标准形为：ｚ１－ｚ２，ｆ的正惯性指数为
1
１＜３，所以ｆ不正定。 证明［不讲］：设ｎ元实二次型ｆ经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为标准形：
ＴＴＴ２２
ｆ（ｘ１，…，ｘｎ）＝ＸＡＸ＝ｙ（ＣＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１＋……＋ｄｎｙｎ （１） 必要性：如果ｆ是正定的，来证ｄ１，…，ｄｎ都大于零，从而正惯性指数ｐ＝ｎ。 （反证法）假如存在某一个ｄｉ≤０（１≤ｉ≤ｎ），则取
ＴＴ
Ｙ０＝（ｙ１，…，ｙｉ－１，ｙｉ，ｙｉ＋１，…，ｙｎ）＝（０，…，０，１，０，…，０）， 因为Ｙ０≠０，所以Ｘ０＝ＣＹ０≠０，将Ｘ０，Ｙ０代入（１）式，得
ＴＴ
ｆ（Ｘ０）＝Ｙ０（ＣＡＣ）Ｙ０＝ｄ１０＋…＋ｄｉ－１０＋ｄｉ×１＋ｄｉ＋１０＋…＋ｄｎ０ ＝ｄｉ≤０
这与ｆ正定矛盾，故ｄ１，…，ｄｎ都大于零，从而正惯性指数ｐ＝ｎ。 充分性：如果ｄ１，…，ｄｎ都大于零，来证ｆ正定。
Ｔ－１
对于每一个Ｘ＝（ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ）≠０，因为Ｃ可逆，对应的Ｙ＝ＣＸ
Ｔ
＝（ｙ１，ｙ２，…，，…，ｙｎ）≠０，将Ｘ、Ｙ的值代入（１）式，得
２２２
ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ）＝ｄ１ｙ１＋ｄ２ｙ２＋…＋ｄｎｙｎ＞０， 由Ｘ的任意性得，ｆ正定。
ＴＴ
２、推论１：实二次型ｆ＝ＸＡＸ（Ａ＝Ａ）正定（即实对称矩阵Ａ正定） ?Ａ的所有特征值都大于零。
Ｔ
证明：据定理５．１，ｎ元实二次型ｆ＝ＸＡＸ可经过正交变换Ｘ＝ＰＹ化为标准形：
Ｔ２２２
ｆ＝ＸＡＸ＝λ１ｙ１＋λ２ｙ２＋…＋λｎｙｎ，
其中λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的全部特征值。所以
Ａ的所有特征值都大于零
?用正交变换化ｆ为标准形后，正平方项的个数为ｎ个 ?ｆ的正惯性指数ｐ＝ｎ ?实二次型ｆ正定。
作用：求出ｎ阶实对称矩阵Ａ的所有特征值，可判断ｆ是否正定。
ＴＴ
３、推论２：ｎ元实二次型ｆ＝ＸＡＸ（Ａ＝Ａ）正定（即实对称矩阵Ａ正定）
Ｔ
?Ａ与ｎ阶单位矩阵Ｅ合同，即存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＡＣ＝Ｅ。
ＴＴ
证明： ｎ元实二次型ｆ＝ＸＡＸ（Ａ＝Ａ）正定
２２２
?ｆ的规范形为：ｚ１＋ｚ２＋…＋ｚｎ。 ?Ａ合同于Ｅ。
作用：由Ａ能否化合同变换化成Ｅ，来判断Ａ是否正定。
Ｔ
４、实对称矩阵Ａ正定?存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＭ。［Ｐ２１６ １３题］
Ｔ
证明：必要性：如果Ａ正定，则存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＡＣ＝Ｅ，于是，
Ｔ－１－１－１Ｔ－１－１
Ａ＝（Ｃ）ＥＣ＝（Ｃ）Ｃ。令Ｍ＝Ｃ，则Ｍ是可逆矩阵，使
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Ａ＝ＭＭ。
ＴＴ
充分性：如果Ａ是实对称矩阵，且存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＭ，即Ａ＝ＭＥ
Ｔ－１－１－１Ｔ－１－１
Ｍ，所以（Ｍ）ＡＭ＝Ｅ，即（Ｍ）ＡＭ＝Ｅ，其中Ｍ是可逆矩阵，故Ａ与Ｅ合同，从而Ａ正定。
５、用行列式求判断正定性［Ｐ２０７：１４行至Ｐ２０８：６行］
2
定义：ｎ阶方阵Ａ＝（ａｉｊ）的ｒ阶顺序主子式Δｒ，１≤ｒ≤ｎ。［Ｐ207：15－20行］ ｎ阶方阵Ａ共有ｎ个顺序方子式：Δ１，Δ２，…，Δｎ＝A。
定理５．４：ｎ元实二次型ｆ＝ＸＡＸ（Ａ＝Ａ）正定（即ｎ阶实对称矩阵Ａ正定） ?Ａ的所有顺序主子式都大于零。 推论：若Ａ是正定矩阵，则A＞０。反之不然。
例５．６［Ｐ２０７：－６行 过手 见书］ 例［Ｐ２１６：９（２）］确定参数λ的值，使以下二次型正定：
２２２
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｘ１＋ｘ２＋３ｘ３＋２λｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３。
Ｔ
Ｔ
?2?1??? 解：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝?10，Ａ的各阶顺序主子式为： ????103?? Δ１＝２＞０；Δ２＝
2?２
＝２－λ； ?12?Δ３＝?12?1110＝?103?5?3??15２
0＝＝－３（λ－）；
3?5?3?02???2?2???05??5ｆ正定?Ａ正定??。 ?????5?3(?2?)?03????3?3?６、满秩线性变换不改变实二次型的正定性［２１６：１４题 了解］
ＴＴ
７、如果ｎ元实二次型ＸＡＸ（Ａ＝Ａ）正定［即ｎ阶实对称矩阵Ａ＝（ａｉｊ）正定］，
那么ａｉｉ＞０，ｉ＝１，２，……，ｎ。［Ｐ２１６：１１题］
作用：ａｉｉ＞０［ｉ＝１，２，……，ｎ］是Ａ正定的必要条件，但不充分。可用于
判断Ａ不正定。
三、实二次型的各种类型［了解］
１、定义５．４［Ｐ２０８：７行至－１行］
正定?半正定? 实二次型?半负定 负定
?不定?２、负定的充要条件：
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ｎ元实二次型ｆ（Ｘ）＝ＸＡＸ（Ａ＝Ａ）负定
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?－ｆ（Ｘ）＝Ｘ（－Ａ）Ｘ（Ａ＝Ａ）正定
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