第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，?2，

b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？ (4) 什么时候A?B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1)

?A; (2) ?A??A; (3) ?[A(?A)];

innnnniiiji?1i?1i?1i?1j?1j?in(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为1.4 证明下列各式：

i,j?1i?j?AAij；

(1)A?B?B?A; (2)A?B?B?A (3)(A?B)?C?A?(B?C); (4)(A?B)?C?A?(B?C)

1

(5)(A?B)?C?(A?C)?(B?C) (6)

?A??A

iii?1i?1nn证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

2解 样本点总数为A8?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12211中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含A3?2A3?A5?2?3?6个样本点。

于是

P(A)?2?3?69?。

8?7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的

概率。

解 样本点总数为?????10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是P(A)??5??3?3。 101.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以

P(A)?3!2!2!2!48 ?13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10?1?89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

P(A)?17 891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A9个样本点，于

77A97是P(A)?7。

91.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9?解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)????，所以

10000?10?4 2

94?9?P(A)?1-P(A)?1??1???

10000?10?1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1； 解 (1) 答案为

41。 542? 1052(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为

(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含10个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是

2P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 215(5?3?1)(2) 2n根草的情形和(1)类似得

1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个

?N?n?k?2????n?k球的概率为???，0?k?N?n?1?????n???n

?N??n?1???m????N?m?1??(2)恰好有m个盒的概率为????，N?N?n?1?????n???n?m?N?1

?m?j?1??N?m?n?j?1????????，1?m?m?1n?j(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为??????N?n?1?????n??N,0?j?N.

解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解 所求概率为P(A)?

3 53

1.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于解 截取CD??n?11的概率为2。 nn1n?1，因此所求概率CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面积之比大于

nn221?CD2?A?B?C有面积CD?1n?为P(A)?。 ??222?ABC的面积CDnCD1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与

两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当

11242??232??222220?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为P(A)??0.121 2241.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求：

(1) x2位于x1与x3之间的概率。 (2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然

P(A1)?P(A2)?0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，

则P(A3)?P(Aab?Aac?Abc).显然所以

P(Aa)P(Aab)?P(Aac)，P(Ab)?P(Aab)?P(Abc)，P(Ac)?P(Aac)?P(Abc)。

P(A3)?211(a?b?c)?(a?b?c) [P(Aa)?P(Ab)?P(Ac)]?2?d?d2（用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

b个???白， 解?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，…?b?1表示黑?黑a则样本空间??{?1，?2，…，?b?1}，并且P({?1})?，

a?bbabb?1aP({?2})????， P({?3})?，…，

a?ba?b?1a?ba?b?1a?b?2 4

P({?i})?bb?1b?(i?2)a????? a?ba?b?1a?b?(i?2)a?b?(i?1)b!a

(a?b)(a?b?1)?aP({?b?1})?甲取胜的概率为P({?1})+P({?3})+P({?5})+… 乙取胜的概率为P({?2})+P({?4})+P({?6})+…

1.21 设事件A,B及A?B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB) 解 由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)得

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r

P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?r?q ，P(AB)?r?p P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r

1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);

(2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2).

证明 (1) P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)

(2) 由(1)和P(A1A2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A) 证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

?P(AB)?P(AC)?P(BC)

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。

解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

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