?2n?r?1??1?甲盒中取了n?1，其余在乙盒中取。所以 P(A0BrC)???n?1???2?????由对称性知P(ArB0C)?P(A0BrD)，所求概率为：

n?1?1?????2?n?r1? 2?2n?r?1??1?P(A0BrC?ArB0D)?2P(A0BrC)???n?1???2?????2n?r?1

第二章 离散型随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？

35?23??1?1(1)??0.50.30.2?? (2) ??0.70.10.1??

?????0(3) ?1??2?11?1???2?3?2?n??2?n???1222n? ? (4)?1?1?1?1?1?1??1???????????????????2?3?2?3??2???2?2??解 （1）是

（2）0.7?0.1?0.1?1，所以它不是随机变量的分布列。

1?1?1?1?1?3（3）1?1??????????????,所以它不是随机变量的分布列。 22?3?2?3?2?3?4?1??1?n（4）?为自然数，且???0,???1，所以它是随机变量的分布列。 ??2?n?1?2?2nnn2.2 设随机变量?的分布列为：P(??k)?(2P(k,k?1,2,3,4,5，求(1)P(??1或??2); 1515???)) ； (3) P(1???2)。 22121解 (1) P(??1或??2)???;

15155151(2) P(???)?P(??1)?P(??2)?;

2251(3) P(1???2)?P(??1)?P(??2)?.

52?2.3 解 设随机变量?的分布列为P(??i)?C????,i?1,2,3。求C的值。 ?3?23272??2??解 C?2??，所以。 C????????1?38?3???3?3?i??2.4 随机变量?只取正整数N，且P(??N)与N成反比，求?的分布列。

2C?解 根据题意知P(??N)?C，其中常数C待定。由于，所以C?62，即?的分布列为?C??126?N2N?1N??2P(??N)?

6，N取正整数。

?2N211

2.5 一个口袋中装有m个白球、n?m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了?个白球，求?的分布列。

解 设“??k”表示前k次取出白球，第k?1次取出黑球，则?的分布列为：

P(??k)?m(m?1)?(m?k?1)(n?m),k?0,1,?,m.

n(n?1)?(n?k)2.6 设某批电子管的合格品率为求?的分布列。

31，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第?次为首次测到合格品，441?解 P(??k)?????4?k?13,k?1,2,?. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以?表示取出球的取大号码，求

?的分布列。

?k?1???2???解 P(??k)??,k?3,4,5. ?5???3????2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0?p?1)，设?为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求?的分布列。

解P(??k)?qk?1p?pk?1q,k?2,3,?，其中q?1?p。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设?，?表示第二名队员的投篮次数，则

P(??k)?0.6k?10.4k?10.4+0.6k0.4k?10.6?0.76?0.24k?1,k?1,2,?； P(??k)?0.6k0.4k?10.6?0.6k0.4k0.4?0.76?0.6k0.4k?1,k?1,2,?。

2.10 设随机变量?服从普哇松分布，且P(??1)?P(??2)，求P(??4)。

解P(??k)??kk!e(??0)k?0,1,2,?。由于?e??????22e??,得?1?2,?2?0（不合要求）。所以

24?22?2P(??4)?e?e。

4!3

12

2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设?为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(??x)?0.999。查普哇松分布的数值表，得

x?16。

2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。 解 设?为时间t内通过交叉路口的汽车数，则

(?t)k??t P(??k)?e(??0),k?0,1,2,?

k!t?1时，P(??0)?e???0.2，所以??ln5；t?2时，?t?2ln5，因而

P(??1)?1?P(??0)?P(??1)?(24?ln25)/25?0.83。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p?1，因而，至少出现三个错误的概率为 500k500?k?500??1??499? ???k???500??500????k?3???500k500?k?500??1??499??1????k???500??500????k?0???2

利用普哇松定理求近似值，取??np?500?1?1，于是上式右端等于 500151??e?1?1??0.080301

2ek?0k!2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合

格品，那么每箱至少应装多少个产品？

解 设每箱至少装100?x个产品，其中有k个次品，则要求x,使

2?100?x?k100?x?k 0.9???， ?k??0.030.97k?0??x3k?3利用普哇松分布定理求近似值，取??(100?x)?0.03?3，于是上式相当于0.9??e，查普哇松分布数值表，

k?0k!x得x?5。

2.15 设二维随机变量(?,?)的联合分布列为： P(??n,??m)??npm(1?p)n?mm!(n?m!)e??(??0,0?p?1) m?0,1,?,nn?0,1,2,?

求边际分布列。

解 P(??n)?m?0?P(??n,??m)?n?ne??n!m?0?m!(n?m)!pnn!m(1?p)n?m

13

??en??n!n?0,1,2,?

pme??P(??m)?P(??n,??m)?m!n?0??n?m?m!(n?m)!p?n!m(1?p)n?m

(?p)me??p?m?0,1,2,?。

m!2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别

为?、?、?，求(?,?,?)的联合分布列与各自的边际分布列。

解 P(??m,??n,??k)?4!0.5m0.3n0.2k ，m,n,k?0,1,2,3,4m?n?k?4. m!n!k!?4?m4?m ，m?0,1,2,3,4； P(??m)???m??0.50.5???4?n4?nP(??n)???n??0.30.7 ，n?0,1,2,3,4；

???4?k4?kP(??k)???k??0.20.8 ，k?0,1,2,3,4。

??2.18 抛掷三次均匀的硬币，以?表示出现正面的次数，以?表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求

(?,?)的联合分布列及边际分布列。

2.21 设随机变量?与?独立，且P(??1)?P(??1)?p?0，

1若???为偶数，问取什么值时?与?独立？ 又P(??0)?P(??0)?1?p?0，定义???p??0若???为奇数解P(??1)?P(??0)P(??0)?P(??1)P(??1)=(1?p)?p

22P(??0)?P(??0)P(??1)?P(??0)P(??1)?2p(1?p)

而P(??1,??1)?P(??1,??1)?p2，由P(??1,??1)?P(??1)P(??1)得p?1

2 2.22 设随机变量?与?独立，且P(???1)?P(???1)?独立。

证明P(??1)?P(??1)P(??1)?P(???1)P(???1)?1，定义????，证明?,?,?两两独立，但不相互21 2P(???1)?P(??1)P(???1)?P(???1)P(??1)?因为P(??1,??1)?P(??1,??1)?1 21?P(??1)P??1) 41P(??1,???1)?P(??1,???1)?P(??1)P???1)

414

1P(???1)P(??1) 41P(???1,???1)?P(???1,??1)?P(???1)P(???1)

4P(???1,??1)?P(???1,???1)?所以?,?相互独立。同理?与?相互独立。

但是P(??1,??1,??1)?P(??1)P(??1)P(??1)，因而?,?,?不相互独立。

2.23设随机变量?与?独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明???不服从均匀分（即不可能有

P(????k)?1） ,k?2,3,?,12。

11证明 设P(??k)?pk,P(??k)?qk,k?1,2,?,6。

若P(????k)?1,k?2,3,?,12，则 111P(????2)?p1q1? (1)

111P(????7)?p1q6?p2q5???p6q1? (2)

111P(????12)?p6q6? (3)

111，与（3）11将（2）式减去（1）式，得：(p6?p1)q1?0，于是p6?p1。同理q6?q1。因此p6q6?p1q1?式矛盾。

??02.24 已知随机变量?的分布列为?1???4?212????，求????2与??cos?的分布列。

31??4?2解 ?分布列为P(??2)?1?12?1，P(??2?)?，P(??2?)?； 43234111?的分布列为P(???1)?，P(??0)?，P(??1)?。

4243?211?，求???的分布列。 ?30???2?1012.25 已知离散型随机变量?的分布列为?1111?6515?517111 , P(??1)? , P(??4)? , P(??9)? 530530?01??013?2.26 设离散型随机变量?与?的分布列为?：?131? ， ? ：?12?，且?与?相互独立，求?????的

?????33??288?解P(??0)?分布列。

?0解 ?1??61112421434?11?

?2412?

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