2.27 设独立随机变量?与?分别服从二项分布：b(k;n1,p)与b(k;n2,p)，求???的分布列。

解 设?为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），?为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），而?与?相互独立，所以???为n1?n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而

?n1?n2?kn1?n2?kP(????k)???k??pq??,k?0,1,,?,n1?n2。

2.28 设?与?为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 P(??n)?P(??n)?求???的分布列。

解P(????n)?1,n?1,2,? 2n?P(??k)P(??n?k)??k?1n?111n?1?? kn?kn222k?1n?11,k?1,2,3,4,5，求E?、E?2及E(??2)2。 511222222解，E??(1?2?3?4?5)?3，E??(1?2?3?4?5)?11

552.29 设随机变量?具有分布：P(??k)? E(??2)2?E?+4E?+4=27 2.30设随机变量?具有分布：P(??k)?21,k?1,2,?，求E?及D?。 2k?k?1k1??1?解 E???k??k??2k?1?2?k?12 D??E??(E?)?2

22?k?1k21?2?1?2?2，E???k??k??2k?1?2?k?12?6

2k1]?k,k?1,2,?，问?是否有数学期望？ 2.31设离散型随机变量?的分布列为：P[??(?1)k2k??2k111|?k??，因为级数?发散，所以?没有数学期望。 解 ?|(?1)k2k?1k?1kk?1k?k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10

克，现有三组砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克） 问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设?1、?2、?3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有

16

物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 ?2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 ?3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 于是 E?1? E?2?1(1?1?2?2?1?2?2?3?3?1)?1.8 101(1?1?1?1?2?2?2?3?3?1)?1.7 101E?3?(1?1?2?3?1?2?2?3?4?1)?2

10所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。

2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, ?10米的概率各是0.16，?20米的概率各是0.08，?30米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。

解 设场地面积为

S米2，边长的误差为

?米，则

S?(??500)2且

E??0E?2?2(102?0.16?202?0.08?302?0.05)?186

所以ES?E(??500)?E??1000E??250000?250186(米)

2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为p1、p2、p3。试证发生故障的仪器数的数学p1+p2+p3。

证 令?i??222?1第i架仪器发生故障?0第i架仪器未发生故障i?1,2,3

?为发生故障的仪器数，则E?i?P(?i?1)?pi,i?1,2,3，

所以E??E?1?E?2?E?3?p1+p2+p3。

2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。 解 设，

?10?1则?i的分布列为?114?，因而E?i?。设?为查得的不合格品数，则

??15?1515?????i，所以E???E?i?10。

i?1i?11501502.38 从数字0，1，…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。 解 设?为所选两个数字之差的绝对值，则P(??k)?n?k?1,k?1,2,?,n，

?n?1???2????17

nn?k?12n?22于是E???k。 ?[(n?1)k?k]??n?1n(n?1)3??k?1k?1???2???n2.39 把数字1,2,?,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。

解 设??1数字k出现在第k个位置上?k??数字k不在第k个位置上则?k的分布列为：?1101?? ?0??n1?n???n于是E?1)?1nk?P(?kn，设匹配数为?，则????k，因而E???E?k?1。

k?1k?12.40 设?为取非负整数值的随机变量，证明： ?(1) E???P(??n);

n?1?(2) D??2?nP(??n)?E?(E??1).

n?1证明 (1)由于E????nP(??n)存在，所以该级数绝对收敛。从而

n?0?E???nP(??n)?n?1???n???P(??n)???i)。

n?1i?1??P(??n)?i?1n?i?P(i?1?(2) D?存在，所以级数E?2??n2P(??n)也绝对收敛，从而

n?02?D??E??E??E?(E??1)??n(n?1)P(??n)?E?(E??1)

n?1?n???2??iP(??n)?E?(E??1)?2??iP(??n)?E?(E??1)

n?1i?1i?1n?i??2?nP(??n)?E?(E??1).

n?12.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为?，则

P(??1)?1，P(??n)?pn?1?qn?1,n?2,3,?(q?1?p)

利用上题的结论，E??P(??1)+

???P(??n)=1+?(pn?1?qn?1)

n?2n?2

18

pqp2?p?1?1???

1?p1?qp(1?p)2.42 从一个装有m个白球、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返

回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。

解 略。

2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第n0件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第n0件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？

解 略。

2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。

解 设第i?1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为?i，i?1,2,?,k.又在两次检修之间产品总数为

?，则????i.

i?1j?1因?i独立同分布，P(?i?j)?qp,j?1,2,?(q?1?p)，由此得：

kE?i??jqj?1p?j?1?1p，E?i?2?j?1?j2qj?1p?2?p， p2D?i?E?i2?(E?i)2?k1?p。 2pkk(1?p)kE???E?i?，D???D?i?。 2ppi?1i?12.46 设随机变量?与?独立，且方差存在，则有

D(??)?D??D??(E?)2?D??D??(E?)2（由此并可得D(??)?D??D?）

证明 D(??)?E???(E??)?E?E??(E?)(E?)

2222222?E?2E?2?E?2(E?)2?E?2(E?)2?(E?)2(E?)2

?E?D??(E?)D??D??D??(E?)?D??D??(E?)

2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为?和?：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在??k(0?k?9)的条件下?的分布列。

解 (1) P(??i|??k)?

22221i?0,1,?,9. 1019

(2) P(??i|??k)?1(i?0,1,?,9,i?k) , P(??k|??k)?0 92.49 在n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令

?1在第i次试验中A出现?i??i?1,2,?,n

0在第i次试验中A不出现?求在?1??2????n?r(0?r?n)的条件下，?i(0?i?n)的分布列。 解 P(?i?0|???2????n?r)?P(?i?0,?1????i?1??i?1????n?r)

P(?1??2????n)1?n?1?rn?1?r?q??pqq ?n?r ????n?n?rn?r??pq?r???P(?i?1|?1??2????n?r)?1?n?r?r。

nn2.50 设随机变量?1，?2相互独立，分别服从参数为?1与?2的普哇松分布，试证：

?1??n???? P(?1?k|?1??2?n)???k??????????12?证明 P(?1?k|?1??2?n)?k??1??1????1??2???n?k

P(?1?k,?1??2?n)

P(?1??2?n)?P(?1?k)P(?2?n?k)

P(?1??2?n)由普哇松分布的可加性知?1+?2服从参数为?1+?2的普哇松分布，所以

?k1?1??n??(n?k)!?? P(?1?k|???2?n)?k!?????n1?(?1??2)?(?1??2)?k???1??2??en!2.51 设

e??1??n2?ke??2k??1??1???????12??n?k

?1，?2，…，

?r为r个相互独立随机变量，且?i(1?i?r)服从同一几何分布，即有

P(?i?k)?qpk?1,k?1,2,?,(1?i?r),其中q?1?p。试证明在?1??2????r?n的条件下，(?1,?2,?,?r)的

分布是均匀分布，即

P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?n?1，其中n1?n2???nr?n.

?n?1???r?1????证明 P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?P(?1?n1,?,?r?nr,?1????r?n)

P(?1????r?n)

20