第1讲 集合及其运算
一、知识梳理 1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N＋(或N) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 集合A中所有元素都在集子集 合B中(即若x∈A，则符号语言 Venn图 A?B (或B?A) x∈B) 集合A是集合B的子集，真子集 且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合相等 集合A，B中元素相同 A(或BB A) A＝B 3.集合的基本运算 图形语言 符号语言
集合的并集 集合的交集 集合的补集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?1
A} 常用结论 1．三种集合运算的性质
(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
(3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
2．集合基本关系的四个结论
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一个子集，即它本身． (3)集合的子集和真子集具有传递性：若A?B，B?C，则A?C；若AB，BC，则AC.
(4)含有n个元素的集合有2个子集，有2－1个非空子集，有2－1个真子集，有2－2个非空真子集．
二、教材衍化
1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B B．C?B C．D?C 答案：B
2．集合A＝{x|x＝－y＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为( ) A．9 B．8 C．7
D．6
2
nnnnD．A?D
解析：选C.当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x?N，故集合A＝{2，5，6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为2－1＝7.
3．已知集合A＝{1，3，－a}，B＝{1，a＋2}，若B?A，则实数a＝________． 解析：因为B?A，所以a＋2＝3或a＋2＝－a(此方程无实根)，所以a＝1，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x|y＝x＋1}＝{y|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}．( ) (2)若{x，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．( )
2
2
2
2
22
2
3
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________．
解析：因为B?A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 1解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所以a＝0或a＝.
21
答案：0或
2
3．已知集合A＝{x|x－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(?RA)∪B＝________．
解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，
(?RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
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[学生用书P2]
集合的概念(自主练透)
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则B中的元素有( ) A．5个 C．3个
B．4个 D．无数个
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2
解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
2．若集合A＝{x∈R|ax－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________． 92
解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)－8a＝0，即a＝. 8
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