2.1.2（3）指数函数（教学设计）

内容：复合函数的单调性

教学目标

1. 理解指数函数的单调性的应用 2.理解掌握复合函数的单调性。 教学重点与难点：

重点：复合函数的单调性。 难点：函数值域的求解。 教学过程：

一、复习回顾，新课引入：

问1：对于指数函数y?a，你认为需要注意哪些方面？ 答：（1）底数a的取值有范围限制：a?0且a?1；

（2）有些函数貌似指数函数，实际上却不是．例如y?a?k（a?0且a?1，，y?ka（a?0且a?1，k?0）． k?1）

有些函数看起来不像是指数函数，实际上却是．例如y?axxxx?x（a?0且a?1）．

x形如y?ka（a?0且a?1，k?0）的函数是一种指数型函数，上节课我们遇到的y?N(1?p)（x?N）模型，就是此类型．

（3）指数函数y?a从大的来说按照底数分为两类：0?a?1和a?1．不要混淆这两类函数的性质． （4）函数y?a的图象与y?a（a?0且a?1）的图象关于y轴对称，这是因为点(x,y)与点(?x,y)关于y轴对称．根据这种对称性就可以通过函数y?a的图象得到y?ax?xx?xx的图象．

（5）利用指数函数的概念和性质比较大小，解决的方法主要是：抓底看增减进行比较．对于一般的字母底数要运用分类讨论的思想解决问题．

二、师生互动，新课讲解：

例1（课本P57例8）截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

变式训练1：（课本P59习题2.1 A组NO：6）一种产品的产量原来是a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出产量y随年数x变化的函数解析式。

例2求函数y???解：设x1?x2

?1??2?x2?2x的单调区间，并证明

?1?2??x1(x2?x1)(x2?x1?2)2?x1?2x2?2x1y2?2??1??1? 则 ???????2y1?1?x1?2x1?2?2?????2? ∵x1?x2 ∴x2?x1?0

当x1,x2????,1?时，x1?x2?2?0 这时(x2?x1)(x2?x1?2)?0 即

2x2?2x2y2?1 ∴y2?y1，函数单调递增 y1 当x1,x2??1,???时，x1?x2?2?0 这时(x2?x1)(x2?x1?2)?0 即

y2?1 ∴y2?y1，函数单调递减 y1 ∴函数y在???,1?上单调递增，在?1,???上单调递减。 解法二、（用复合函数的单调性）：

?1?设：u?x2?2x 则：y???

?2??1?对任意的1?x1?x2，有u1?u2，又∵y???是减函数

?2?∴y1?y2 ∴y???uu?1??2?x2?2x在[1,??)是减函数

u?1?对任意的x1?x2?1，有u1?u2，又∵y???是减函数

?2?∴y1?y2 ∴y????1??2?x2?2x在[1,??)是增函数

归纳：复合函数的单调性：（同增异减）

u=g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数 y=f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数 Y=f(g(x)) 增函数 减函数 减函数 增函数

变式训练2：根据复合函数的单调性，求下列函数的单调区间 （1）y?2x2?2x；（2）y?()15?x?3；（3）y?()12?x2?2x

例3：求下列函数的值域：

（1）y?()12x2?2x；（2）y?2x12?2x

1变式训练3：求函数y?()x?3的定义域与值域。

2解：要使函数有意义，必须 x?3?0 即 x??3

111 ∵?0 ∴y?()x?3?()0?1

22x?3 又∵y?0 ∴值域为 (0,1)?(1,??)

三、课堂小结，巩固反思： 1、函数模型的建立。 2、复合函数的单调性 u=g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数 四、布置作业： A组：

1． 函数y＝()y=f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数 Y=f(g(x)) 增函数 减函数 减函数 增函数 112?x2?2x的值域是 ( )

A．R B．(0，＋∞) C．(2，＋∞)

?1?D.?，＋∞? ?2?

1?1?222

答案 D解析 ∵－x＋2x＝－(x－1)＋1≤1，∴??－x＋2x≥，故选D.

2?2?

1?2x2?8x?12、(tb0113813)求函数y=()的单调区间。

3解：减区间：(??,?2]，增区间：[-2，+?)

3、 求函数y?2x

B组：

1、（课本P59习题2.1 B组 NO：3）

2?4x?1的单调区间。