经 典 名 题
“熟读唐诗三百首，不会写诗也会吟。” 你知道围棋界超一流高手李昌镐背并研究了多少棋谱吗？那么对于
历年高考试题你有背并研究了多少？得到那些实用的数学思想和技巧
呢？ 1．（2000年全国）
（1）已知函数{cn}其中cn＝2 n＋3 n，且数列{cn +1－pcn}为等比数列，求常数p； （2）设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，cn＝a n＋b n，证明数列{cn}不是等比数列。
思路启迪：（1）如何求p？——根据题中所给的条件构建关于p的方程即可。
2 （2）如何证明{cn}不是等比数列？——联想到等比中项，只要证明c2?c1?c3即可，这正是优化结论策略的灵活运用呵！
解法点拨：(1)∵{cn +1－pcn}为等比数列，故有 点评：
。。① 这种思路很正常！写出来(cn?1?pcn)2?(cn?2?pcn?1)(cn?pcn?1)。
就能得分，
又Cn＝2 n＋3 n，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。② 太轻松了！考试时你敢写吗？
将②代入①，得 不写就太可惜了！
[2n?1?3n?1?p(2n?3n)]2
=[2n?2?3n?2?p(2n?1?3n?1)][2n?3n?p(2n?1?3n?1)]
nn2即[(2?p)?2?(3?p)?3] 这种变形整理的技巧值得学习！ =[(2?p)?2n?1?(3?p)?3n?1][(2?p)?2n?1?(3?p)?3n?1] 你有过这方面的经历吗？
写出来！
整理，得
1(2?p)(3?p)?2n?3n?0 到此水落石出！ 6解得
p =2或p =3
（2）设{an}{bn}的公比分别为p,q,p≠q,cn = an + bn.
2要想证{cn}不是等比数列，只需证c2?c1?c3
事实上，c2?(a1p?b1q) 解法小结：本题主要考查等比数列的概念和基本
22 1 22 ?a1p?b1q2?2a1b1pq 性质、推理和运算能力.如何证{cn}不是等
比数列?
c1?c3?(a1?b1)(a1p2?b1q2) ___根据等比数列性质，运用“由具体到抽象”的
222 ?a1p?b12q2?a1b1(p2?q2) 思维策略，只需证c2?c1?c3即可。这正是
解(2)
由于p≠q,p2?q2?2pq,又a1，b1不为0， 题的思维闪光点！
2∴c2?c1?c3 对一个命题的肯定是困难的；但对一个命
题的否定
∴数列{cn}不是等比数列。 并不难。你完全不必要对一个命题作全盘否定。
拓展试题： 这种思想你必须深沉地印在脑海中，养成条件反射，
1．（2002年 全国 文科） 左边的2002年题的第一问可直接从特殊性入手加以
设函数f(x)?x?x?2?1,x?R 判定；例如：
(1)判断函数f (x)的奇偶性； f (2)=3,f (-2)=7,由于f (-2)≠f (2),f (-2)≠f (2) (2)求函数f (x)的最小值. . 故f (x)既不是奇函数又不是偶函数。 2．（2002年 全国 理科） 这样否定多轻松！别担心，就这么简单！学着点！
设a为实数，f(x)?x?x?a?1,x?R 对比文理科的差异，能悟出些什么？ (1)讨论函数f (x)的奇偶性； 看下面为理科试题朴实而又准确的解答过程： (2)求函数f (x)的最小值. .
22标准解法：(1)当a=0时，
f(?x)?(?x)2??x?1?f(x)
故此时的f (x)为偶函数。 (1)的解法怎样？称得上简洁明快吧！ 当a≠0时，f(a)?a?1,f(?a)?2a?1 你有何体会？
故此时f (x)既不是奇函数又不是偶函数。
(2)①当x≤a时， (2)要注意对谁进行分类讨论？是a还是x ?
213f(x)?x2?x?a?1?(x?)2?a?
241若a?,则f(x)在(??,a]上单调递减，从而 点评：
2f(x)在(??,a]上的最小值为f(a)?a2?1 分类讨论要求条理清楚，不重不漏；
2
若a?x，
1,则函数f(x)在(??,a]上的最小值为 这里讨论的是字母a而不是自变量231?a,且f()?f(a) 认清自变量，头脑要高度清醒，慢42 f()?12慢来，
(2)当x≥a时， 相信慢工出细活，我们要有充分的得分
则函数f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?当a??多吃苦，
21223 意识，因为分数才是硬道理！ 41，则函数f(x)在[a,??)上的最小值为 在平时我们要舍得花大力多练题，2131f(?)??a,且f(?)?f(a) 多思考，多问为什么？在考场，我
242们一定要 当a??1，则函数f(x)在[a,??)上单调递减， 用最稳妥的方式得分！ 2从而函数f(x)在[a,??)的最小值 还记得下列这些题你是怎么错的吗？
f(a)?a2?1 1。(98年文科)设a≠b,解关于x的
不等式： 综上，当a??当?13222时，函数f(x)的最小值是?a； ax?b(1?x)?[ax?b(1?x)] 24112x1?a?时，函数f(x)的最小值是? a2?1； 2. 解不等式22x?1x当a??13，则函数f(x)的最小值是a? 。 242．(2001年 全国)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
1，本年度当地旅游5业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
1。 4(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，
写出an与bn的表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
解：(Ⅰ)第1年投入为800万元； (接左下)第1年旅游业收入为400万元，
第2年投入为800×(1?)万元； 第2年旅游业收入为400×(1? ······ ； ······ ；
151)万元， 4 3