直线与平面垂直的判定和性质

教学目标：

1． 理解线面垂直的定义，总结线面垂直的判定方法和性质，形成系统的知识结构；

2． 树立数学定理即数学模型的意识，能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素，

从而解决问题，提高数学建模和直观想象素养；

3． 通过应用定理解决实际问题，进一步强调等价转换和“降维”思想，体会数学定理作为

一种基本模型的应用价值，提高逻辑推理素养；

4． 通过“鳖臑”的引入，体会我国古代数学家对人类的数学贡献，增强民族自信和民族自

豪感。

教学重点与难点：

1． 从具体几何问题中分离出定理模型并找到符合定理模型的基本元素，解决问题；

2． 在解决问题时，渗透“立体问题平面化”的“降维”处理，培养学生的等价转换思想。 教学内容与过程： 一、 构建知识框架 1.线面垂直的定义

什么样的直线和平面是垂直关系呢？

直线l与平面α内的任一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直，此时直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。

2.判定直线和平面垂直的方法（文字语言、符号语言、图形语言三种形式表达） 判定方法 文字语言 如果一条直线与平面内的两条相① 交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在② 一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 如果在两条平行直线中，有一条③ 垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 如果一条直线垂直于两个平行平④ 面中的一个，那么也垂直于另一个. 3.直线和平面垂直的性质 性质 ① 文字语言 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． 图形语言 ?l图形语言 符号语言 l?a?l?b????l?? a?b?O?a,b???? ?α∩β＝a???l⊥α l⊥a??l?βα⊥βa//b???a?? b??? ???//????l?? l???符号语言 lml?????l?m m???如果一个平面经过另一个平面的② 一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 垂直于同一个平面的两条直线平行． l l⊥α????α⊥β l?β??③ a⊥α???b⊥α???a∥b ④ 垂直于同一直线的两平面平行． ??l??????//? l???其实，能够判定线面垂直的方法远不止这么多，线面垂直的性质也不只这几个，那么我们为什么选定了这些作为定理呢？其实他们都是立体几何问题中的基本模型，我们在遇到复杂的几何问题时，都可以分离出这些基本的定理模型。我们通过这节课的学习，就是要能够在具体问题中，确定需要的定理模型，并找到符合定理模型的基本元素，从而得到我们需要的结论。

4.牛刀小试 P我们掌握了那么多线面垂直的判定方法，现在就试着在图形中找找

E互相垂直的直线和平面有哪些吧。

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面

DABCD,且PD=CD,点E是PC的中点．你还能发现哪些线面垂直关系？

对于这样简单的几何体，我们很快就可以从中看出定理模型，找到模型中所需的元素，得到想要的结论，那么我们在这个图上继续构造，

AB让图形复杂起来，继续探究其中的垂直关系。

二、 例题分析

例. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，

PE是PC的中点，EF⊥PB，垂足为F，连接DE,DF,BD,BE.

（1）求证：PB⊥平面DEF；

FE（2）试判断：四面体BDEF中有几个面是直角三角形，并指出其中的

N直角； D

（3）设M、N分别为AD、PB的中点，连接MN，MC，NC，求证：平面CMN⊥平面PBC. M AB引导分析：（1）要证明PB⊥平面DEF，你选择哪个模型？（“线面垂P直判定定理”模型）模型中已经有哪个条件具备了？（已经有“EF⊥PB”）还缺的条件应该从哪里找？（“DF⊥PB”（共面垂直：从边长关F系，中线长度等平面几何办法入手）)或者“DE⊥PB”（异面垂直：从

D平移成共面或线面垂直入手））。

证明：∵PD⊥面ABCD，且BC?面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BC⊥CD，CD∩PD=D，CD,PD?面PCD，∴BC⊥面PCD.∵DE?面PCD，∴BCA⊥DE.又∵DE⊥PC，BC∩PC=C，BC,PC?面PBC，∴DE⊥面PBC.∵

PB?面PBC，∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE,EF?面DEF，∴PB⊥面DEF.

CCECB（2）找直角就是找线线垂直，线线垂直可以由“线面垂直性

P质定理模型”，先找线面垂直关系。（PB⊥平面DEF可以得到

FEPB⊥DF,PB⊥EF，还有没有其他的线面垂直关系？DE⊥面

PBC，所以DE⊥EF，DE⊥EB，四个面都是直角三角形。）

ND（3）要得到面面垂直，要利用线面垂直的性质定理模型，先C找线面垂直关系。对于平面CMN和平面PBC来说，第一问已

M经找到面PBC的垂线DE了，可以考虑线面垂直的性质模型，AB在平面CMN中能找到DE的平行线即可。

三、 课堂小结

处理空间中线面垂直相关问题的一般方法：

1.通过逻辑分析和空间想象，分离出具体问题中包含的定理模型； 2.寻找定理模型所需的基本元素，完成逻辑推理的过程； 3.对照定理模型，严谨地表述证明的过程。

解决具体问题的过程中，注意“转化”和“降维”思想。

四、 数学文化——“鳖臑”与“阳马”

在今天上课的例题中，有两个几何体中国很早就有研究，而且他们还拥有自己的名字：一个是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的名字叫“阳马”，另一个四个面都为直角三角形的四面体叫“鳖臑”。这两个名称还曾经出现在高考卷上，今天我们上课这道例题就是2015年湖北高考题改编的。

原题是这样的：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马P?ABCD中，侧棱PD?底面ABCD，且

FEPPD?CD，过棱PC的中点E，作EF?PB交PB于点F，连

接DE,DF,BD,BE.

(I)证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为

πDC，求的值． 3BCADCB大家可以看出，我们例题的（1）（2）两个小题就改编自这题，只是没有用它的名称，实际上，“阳马”和“鳖臑”怎么来的，《九章算术》里是这样描述的：

《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马

居二，鳖臑居一，不易之率也。”

阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.