第七章 数列 7.2等差数列

课 题：7.2-1-等差数列及其通项公式(3) (1课时) 教学目标：

1. 掌握判定及证明等差数列的方法。

2. 在研究等差数列及子数列的过程中，进一步掌握等差数列的概念。 3. 培养数学研究的方法与态度。 教学重点：等差数列的证明及子数列的研究 教学难点：子数列的研究 教学过程：

复习：等差数列定义；等差数列递推公式：a1＝b，an＝an—1＋d（n≥2，n∈N*）；

等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d

等差数列中任意两项的关系：an－am＝(n－m)d

[例1] 已知a，b，c，d为等差数列，求证：a＋b，b＋c，c＋d也是等差数列。 分析1：只要证明：2(b＋c)＝(a＋b)＋(c＋d) ——等差中项

∵a，b，c，d为等差数列 ∴2b＝a＋c，2c＝b＋d

即2(b＋c)＝(a＋b)＋(c＋d)，则a＋b，b＋c，c＋d也是等差数列

分析2：设公差为x，得b＝a＋x，c＝a＋2x，d＝a＋3x ——用基本量(首项与公差)表示

a＋b＝2a＋x，b＋c＝2a＋3x，c＋d＝2a＋5x ∵(b＋c)―(a＋b)＝(c＋d)―(b＋c)＝2x ∴a＋b，b＋c，c＋d也是等差数列

[例2] 等差数列{an}中，a1＝3，a4＋a5＝－2，求a8

分析：a4＋a5＝2a1＋7d，即－2＝6＋7d，得d＝－8，则a8＝a1＋7d＝－5

7发现1：只要求得7d＝－8即可

发现2：a4＋a5＝2a1＋7d，a1＋a8＝2a1＋7d，即a4＋a5＝a1＋a8 思考：是巧合吗？是否存在某中内在联系？

探究：对于等差数列{an}，很容易发现：a1＋an＝a2＋an—1＝a3＋an—2＝…，由此你能否得

到一个更具一般性的结论？

下标和定理：数列{an}是等差数列，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq。

(1)用通项公式即可证明。(2)逆命题不成立。反例：数列{an}为常数列。 变式1：等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝3，求a3＋a8 解：∵a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6

∴a1＋a2＋a3＋…＋a10＝5(a3＋a8)，则a3＋a8＝3

5变式2：在数7和－3之间插入6个数后，构成等差数列，求插入的6个数之和。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

数学小屋 http://www.fxzx.fp.net.cn/teacher/jhw/index.htm

第七章 数列 7.2等差数列

解：a1＝7，a8＝－3，插入的6个数之和为a2＋a3＋…＋a7

∵a2＋a3＋…＋a7＝3(a1＋a8)＝12

[例3] 等差数列{an}中，d＝－2，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝3，求a11＋a12＋a13＋…＋a20 解：∵(a11＋a12＋a13＋…＋a20)－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＝100d＝300

∴a11＋a12＋a13＋…＋a20＝302

变式：等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝10，求a7＋a8＋a9 分析1：a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝3，a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝10 ——基本量

可求得a1与d，进而可求a7＋a8＋a9

分析2：∵(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝9d＝7 ——整体思维

∴(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝9d，则a7＋a8＋a9＝17 发现：a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9构成等差数列！

探究：对于等差数列{an}，由哪些项构成的子数列也是等差数列？ 可能的结论：

(1) 奇数项a1，a3，a5，a7，… 构成首项为a1，公差为2d的等差数列。 (2) 偶数项a2，a4，a5，a6，… 构成首项为a2，公差为2d的等差数列。 (3) a1，am+1，a 2m+1，a3m+1，… 构成首项为a1，公差为md的等差数列。 (4) an，am+n，a 2m+n，a3m+n，… 构成首项为an，公差为md的等差数列。

(5) a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5，… 构成首项为a1＋a2，公差为2d的等差数列。 (6) a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，… 构成首项为a1＋a2，公差为4d的等差数列。 (7) a1＋a2＋…＋an，a2＋a3＋…＋an+1，a3＋a4＋…＋an+2，… 构成首项为a1＋a2＋…＋an，

公差为nd的等差数列。

(8) a1＋a2＋…＋an，a n+1＋a n+2＋…＋a2n，a 2n+1＋a2 n+2＋…＋a3n… 构成首项为a1＋a2＋…

＋an，公差为n2d的等差数列。

[例4] 数列{an}、{bn}都是等差数列，且cn＝an－bn，求证：{cn}为等差数列。 证明：设{an}、{bn}的公差分别为d1、d2，得an+1－an＝d1，bn+1－bn＝d2

∵cn+1－cn＝(an+1－bn+1)－(an－bn)＝(an+1－an)－(bn+1－bn)＝d1－d2 ∴{cn}为等差数列

探究：若数列{an}、{bn}为等差数列，则

(1) {an±bn}是首项为a1±b1，公差为d1±d2的等差数列 (2) {kan}是首项为ka1，公差为kd1的等差数列

(3) {pan±qbn}是首项为pa1±qb1，公差为pd1±qd2的等差数列，其中p、q为常数

[例5]已知f(x)＝

2x1，若数列{an}满足a1＝2，an＝f(an－1)，n∈N*，且n≥2。求证{}是

anx＋2等差数列，并求出它的的通项公式。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

数学小屋 http://www.fxzx.fp.net.cn/teacher/jhw/index.htm

第七章 数列 7.2等差数列

解：an＝f(an－1)＝

∴{则

2an?1111111，则??，而??(n∈N*，且n≥2)，

an?1?2anan?12anan?121111}是等差数列，且首项是?，公差是，

a12an2111n2??(n?1)?，所以an?。 an222n解题策略：直接求数列{an}的通项公式比较困难的情况下，构造一个与数列{an}相关的新数列{bn}，bn＝f(an)，先求{bn}通项公式，再求{an}的通项公式。

练习：f(x)?x2?4(x?0)

解：an?f(an?1)?an?12?4，则an2?an?12?4(n?2)，

∴{an2}是等差数列，且其首项是a12?4，公差是4， 则an2?4?(n?1)4?4n，所以an?2n。

[例6]在数8和36之间插入若干个数后，构成公差为整数的等差数列{an}。问满足条件的

数列有多少个？公差分别是哪些值？

解：设插入n－2个数，则有a1＝8，an＝36 (n∈N*，n≥3) ，则公差d＝

32 n?1n－1为32的因数，则n－1可取2，4，8，16，32， n值分别为3，5，9，17，33 则满足条件的数列共有5个，公差分别为16，8，4，2，1，

课堂小结：

1、数学知识：(1) 等差数列的证明；(2) 构建新数列的方法。 2、数学思想方法：归纳猜想。

作业：《课本》P.16-练习7.2 (3) -1、2

《练习册》P.4-A组-8、11，B组-1、2、3 补充：

1、在Rt?ABC中，三边a、b、c成等差数列，且a?b?c，求a:b:c。 2、在等差数列{an}中，已知an?m，am?n，m?n，求am?n。 3、等差数列{an}中，a1＝－2，若第7项起大于3，求公差d的取值范围。 4、从1到n的n个自然数中，抽走一个数，余下的n－1个数的平均数为的那个数。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

数学小屋 http://www.fxzx.fp.net.cn/teacher/jhw/index.htm

40，求被抽走3