第2课时 补集及集合的综合应用

[目标] 1.理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集；2.能用Venn图表达集合的关系及运算；3.能利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题，意在培养数学建模及数学运算的核心素养．

[重点] 全集与补集的含义，求补集以及用Venn图表达集合的运算．

[难点] 集合的综合运算及应用.

知识点 补集

[填一填]

1．全集

(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

(2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 符号语言 图形语言 3.补集的性质 (1)?UU＝?；(2)?U?＝U；(3)(?UA)∪A＝U；(4)A∩(?UA)＝?；(5)?U(?UA)＝A.

对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA. ?UA＝{x|x∈U，且x?A} [答一答]

1．全集是不是一个固定不变的集合？集合A的补集是不是唯一的？

提示：全集不是固定不变的，它因研究问题的改变而改变；A的补集不唯一，随全集的改变而改变．

2．?UA的含义是什么？

提示：?UA的含义：?UA包含的三层意思

1

①A?U；②?UA是一个集合，且?UA?U；

③?UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．

3．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”． (1)?A?＝A.( √ ) (2)?NN＝{0}．( √ )

(3)?U(A∪B)＝(?UA)∪(?UB)．( × )

*

类型一 补集的简单运算

[例1] 已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

易知A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2

B∩(?RA)＝{x|2

＝{x|2

求解与补集有关的运算时，首先明确全集是什么，然后根据补集即全集中去掉该集合中元素后剩余元素构成的集合求出补集，再根据补集求解与补集有关的运算.

[变式训练1] 设U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤3}．求(1)(?UA)∪B；(2)(?UA)∩(?UB)．

解：(1)∵U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}． ∴?UA＝{x|x<－1或2

∴(?UA)∪B＝{x|x<－1或2

2

∴(?UA)∩(?UB)＝{x|x<－1或2

类型二 Venn图的应用

命题视角1：利用Venn图进行有限数集的运算

[例2] 设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩(?UB)＝{3,5}，(?UA)∩B＝{7,19}，(?UA)∩(?

UB)＝{2,17}，求集合A，B.

[分析] 题目给出的关系较复杂，不易理清，所以用Venn图解答． [解] 易得U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．

由题意，利用如图所示的Venn图，知集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．

与集合有关的复杂题目，通常利用Venn图，将集合中元素的个数，以及集合间的关系直观地表示出来，进而根据图示逐一将文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言，利用方程思想解决问题.

[变式训练2] 设全集U＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{2}，(?UA)∩B＝{4}，?U(A∪B)＝{1,5}，下列结论正确的是( A )

A．3∈A,3?B C．3∈A,3∈B

B．3?A,3∈B D．3?A,3?B

解析：根据条件画出Venn图，如图，3∈A,3?B.

命题视角2：利用Venn图进行抽象集合的运算

[例3] 如图，请用集合U，A，B，C分别表示下列部分所表示的集合：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，

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