15.在【答案】-40 【解析】 【分析】 根据的常数项． 【详解】解：∵（x﹣2），
的展开式中，常数项为_____．
，按照二项式定理展开，可得在的展开式中
（x﹣2）＝（x+6x+15x+20+15?
642
6?）
∴常数项是 20?（﹣2）＝﹣40， 故答案为：﹣40．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16.如图，已知圆柱和半径为
的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的
上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．
【答案】2π 【解析】 【分析】
设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．
【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；
则h2+r2＝R2＝3；
所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）； 则V′（h）＝π（3﹣3h）， 令V′（h）＝0，解得h＝1；
所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；
2
h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；
所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π． 故答案为：2π．
【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值． 【答案】（1）； （2）【解析】 【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果． 利用【详解】
的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果． 在
的内角A，B，C的对边分别为
．
整理得：利用正弦定理得：
，
，
，且
.
，且
．
即：由于：解得：由于所以：整理得：所以：当且仅当
时，．
， ，
，
，
， ．
的面积有最小值
.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示． （1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；
（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，
y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；
（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值
．
【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF， 以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设OA＝x，则OF＝2∴B（2，2
x，OE，
x，0），E（，0，0），
x，0），
A（0，0，x），C（﹣2，2
（﹣2，2（
x，﹣x），
，0），
2，x﹣2
∵异面直线BE与AC垂直， ∴解得x（舍）或x8＝0，
，
∴，
∴图1中点D在靠近点A的三等分点处． 证明：（2）平面ADE的法向量
（
，0，﹣x），
（
（0，1，0）， 2，x﹣2
，0），
设平面ABE的法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（1，，），
设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，
则cosθ，
∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．
【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图
（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；
①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率； ②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？ 参考数据：
＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，
μ+2σ）＝0.9544．