【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200． 【解析】 【分析】
（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图； （2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差； （3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据； ②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．
【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：
质量指标值的样本平均数为：
＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100． 质量指标值的样本方差为
S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．
（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；
②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544， 该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．
【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题． 20.已知椭圆C过点
，两个焦点
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由已知可设椭圆方程为
（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结
；（2）9
合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求． 【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为且c，2a2
2
2
（a＞b＞0），
12，
则a＝6，∴b＝a﹣c＝12． ∴椭圆C的标准方程为
；
（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m， 得|AB|
，
由|AB|此时
6，解得m＝±3， ；
当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m， 联立
，得（3k+1）x+6kmx+3m﹣36＝0．
2
2
2
△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144． 设A（，），B（，）， 则
，
．
由|AB|6，
整理得：，原点O到AB的距离d．
∴
．
当时，△AOB面积有最大值为9．
综上，△AOB面积的最大值为9．
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 21.已知函数f（x）＝e﹣（1）求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2． 【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析 【解析】
x
有两个极值点．
【分析】
（1）f′（x）＝ex﹣ax．函数f（x）＝ex有两个极值点?f′（x）＝ex﹣ax，令g（x）
，（x≠0）．利
＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a用导数已经其单调性即可得出．
（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2?＞2﹣＞1?
，由
，因此即证明：
．构造函数h（x）
，0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．
【详解】（1）解：f′（x）＝ex﹣ax． ∵函数f（x）＝exx有两个极值点．
∴f′（x）＝e﹣ax＝0有两个实数根．
x＝0时不满足上述方程，
方程化为：a令g（x）
， ，（x≠0）．
，
g′（x）
可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
a＞e时，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．
∴实数a的取值范围是（e，+∞）．
（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜
x2．
证明：+＞2?＞2﹣＞1?
，
由，因此即证明：．
构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．
h′（x）
令函数u（x）
，（0＜x）． ．
（x﹣1），
u′（x）
可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）递减．
在（0，1）内单调
v（x）≥v（1）＝0．
∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0． ∴h（x）＞h（1）＝0． ∴
．
因此+＞2成立．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝0≤α＜π）．
（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状； （2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．
【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8 【解析】
，直线l的参数方程为
（t为参数，