第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第2课时 利用导数研究
函数的极值、最值练习 理 北师大版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x－12x的极小值点，则a＝( ) A.－4
2
3
B.－2 C.4 D.2
解析 f′(x)＝3x－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－2
f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点.
答案 D
12
2.函数f(x)＝x－ln x的最小值为( )
21A. 2
B.1
2
C.0 D.不存在
1x－1
解析 f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0 xx11在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝. 22答案 A 3.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝x＋bx＋cx的图像如图所示，则 2 x21＋x2等于( ) 3 2 2A. 38C. 3 4B. 3D.16 3 解析 由图像可知f(x)的图像过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x－3x＋2x，所以f′(x)222 ＝3x－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所 348222 以x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4－＝. 33答案 C 4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A.3 B.4 C.6 D.5 3 2 272 解析 设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πRl＝27π，∴l＝2，要使用料最省， R只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小. 2722 由题意，S＝πR＋2πRl＝πR＋2π·. R54π ∴S′＝2πR－2，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小.故选A. R答案 A 5.(2017·东北四校联考)已知函数f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( ) A.(－1，2) C.(－3，6) 2 3 2 B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f′(x)＝3x＋2ax＋(a＋6)， 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a－4×3(a＋6)>0，即a－3a－18>0， ∴a>6或a<－3. 答案 B 二、填空题 6.(2017·汉中模拟)已知函数f(x)＝x＋ax＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________. 解析 f′(x)＝3x＋2ax＋3. 依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根， 所以3×(－3)＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5. 经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值. 答案 5 ??x－3x，x≤0， 7.(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝?则f(x)的最大值为________. ?－2x，x>0，? 3 2 2 3 2 2 2 解析 当x>0时，f(x)＝－2x<0； 当x≤0时，f′(x)＝3x－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1 8.设a∈R，若函数y＝e＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________. 解析 ∵y＝e＋ax，∴y′＝e＋a. ∵函数y＝e＋ax有大于零的极值点， 2 2 xxxx则方程y′＝e＋a＝0有大于零的解， ∵x>0时，－e<－1，∴a＝－e<－1. 答案 (－∞，－1) 三、解答题 9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝2(a>0，r>0). （x＋r）(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性； (2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值. 解 (1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞). xxxaxarf(x)＝ axax2＝22， （x＋r）x＋2rx＋ra（x2＋2rx＋r2）－ax（2x＋2r）a（r－x）（x＋r） f′(x)＝＝. 2224 （x＋2rx＋r）（x＋r） 所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0； 当－r 因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)； f(x)的单调递增区间为(－r，r). (2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减. 因此，x＝r是f(x)的极大值点， ara400 所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝100， 2＝（2r）4r4f(x)在(0，＋∞)内无极小值； 综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值. 10.已知函数f(x)＝(x－k)e. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值. 解 (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. xxf(x)与f′(x)随x的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － k－1 0 －ek－1(k－1，＋∞) ＋ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞). (2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增， 3 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0 f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1 ； 当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上，当k≤1时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(0)＝－k； 当1 f(k－1)＝－ek－1； 当k≥2时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 11.(2017·石家庄质检)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x－ax－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为( ) A.2 2 3 2 B.3 C.6 D.9 解析 f′(x)＝12x－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6， ?a＋b?＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号. 又a>0，b>0，则t＝ab≤???2? 答案 D 1322 12.(2017·上饶调研)若函数f(x)＝x＋x－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a33的取值范围是( ) A.[－5，0) C.[－3，0) 2 2 B.(－5，0) D.(－3，0) 解析 由题意，f′(x)＝x＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在 (－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图像如图所示. 13222 令x＋x－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图像可知，333 ??－3≤a<0，?解得a∈[－3，0)，故选C. ?a＋5>0，? 答案 C 13.函数f(x)＝x－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________. 解析 令f′(x)＝3x－3a＝0，得x＝±a， 4 3 2