则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：

x f′(x) (－∞，－a) ＋ －a 0 极大值 (－a，a) － a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ f(x) ?a＝1，?（－a）3－3a（－a）＋b＝6，??从而?解得 3

?b＝4.??（a）－3aa＋b＝2，

所以f(x)的单调递减区间是(－1，1). 答案 (－1，1)

14.(2017·济南模拟)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x.

(1)若当x＝－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； e

(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln. 2解 (1)f′(x)＝13＋2x，依题意，有f′(－1)＝0，故a＝. x＋a2

2

（2x＋1）（x＋1）?3?从而f′(x)＝，且f(x)的定义域为?－，＋∞?，

3?2?x＋23

当－0；

21

当－1

21

当x>－时，f′(x)>0.

2

1??3??1??∴f(x)在区间?－，－1?，?－，＋∞?上单调递增，在?－1，－?上单调递减. 2??2??2??2x＋2ax＋1

(2)f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝. x＋a方程2x＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a－8，

①若Δ≤0，即－2≤a≤2时，f′(x)≥0，故f(x)无极值.

－a－a－2

②若Δ>0，即a<－2或a>2，则2x＋2ax＋1＝0有两个不同的实根，x1＝，

2

2

22

2

2

－a＋a－2x2＝.

2

当a<－2时，x1<－a，x2<－a， 故f′(x)>0在定义域上恒成立，

2

5

故f(x)无极值.

当a>2时，－a

综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，＋∞). 由上可知，x＋x，x1

12＝－a1x2＝2

.

所以，f(x)的极值之和为f(x2

2

1)＋f(x2)＝ln(x1＋a)＋x1＋ln(x2＋a)＋x2 ＝ln(－x2

2

2)＋ln(－x1)＋(x1＋x2) ＝ln(x2

1x2)＋(x1＋x2)－2x1x2 ＝ln1212

e2＋a－1>ln2＋(2)－1＝ln2

. 6