第二章习题解答

4 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为????0U0d?43x?23，式中阴

9极板位于x?0，阳极板位于x?d，极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2，求：（1）x?0和x?d区域内的总电荷量Q；（2）x?d2和x?d区域内的总电荷量Q?。

44?43?23 解 （1） Q???d???(??0U0dx)Sdx???0U0S??4.72?10?11C

93d?0（

2

）

dQ????d????4?43?23(??Udx)Sdx?00?9d2d41(1?3)?0U0S??0.97?10?11C 3d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

?27?19解 质子的质量m?1.7?10kg、电量q?1.6?10C。由

12mv?qU 2得 v?2mqU?1.37?106 ms ?故 J??v?0.318 Am2

I?J?(d2)2?10?6 A

2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为

v???r?e??rsin?

球内的电荷体密度为

Q??

4?a33Q3Q?J??v?e?rsin??ersin? 故??334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度?绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为

v???r?e??asin?

球面的上电荷面密度为

Q??

4?a2QQ??asin??esin? 故 JS??v?e??24?a4?a2.5 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，

求(4,0,0)处的电场强度。

解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为

qr?r1?2ex4?ez4E1?1?4??0r?r1?3??0(42)3 电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为

qr?r2?1ex4?ey4E2?2??

4??0r?r2?3??0(42)3故(4,0,0)处的电场为

E?E1?E2?ex?ey?ez2322??0

2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l，求垂直于圆平面的轴线上z?a处的

电场强度E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6 图所示。

解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为

?lar?r?dE?d???34??0(2a) ?lez?(excos???eysin??)d??

a82??0 ?2?l(ez??ex2)?l???[e?(ecos??esin?)]d?? zxy?82??a82??0a??20 题 2.6图

2.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为?l1、

?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3，计算三角形中心处的电场

在半圆环上对上式积分，得到轴线上z?a处的电场强度为

E(0,0,a)??dE?

强度。

解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

L3d?tan30?L则

26 ?3?l1E1?eyl1(cos30?cos150)?ey

4??0d2??0L 3?l23?l1E??(ecos30?esin30)??(e3?e) 2xyxy 2??0L8??0L 3?l33?l1E3?(excos30?eysin30)?(ex3?ey) 2??0L8??0L 故等边三角形中心处的电场强度为 题2.7图

E?E1?E2?E3?

3?l13?l13?l13?l1ey?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey 2??0L8??0L8??0L4??0L2.8 －点电荷?q位于(?a,0,0)处，另－点电荷?2q位于(a,0,0)处，空间有

没有电场强度E?0的点？

解 电荷?q在(x,y,z)处产生的电场为

qex(x?a)?eyy?ezzE1?22232 4??0[(x?a)?y?z]电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为

2qex(x?a)?eyy?ezzE2??

4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0，则有

?

[(x?a)2?y2?z2]32[(x?a)2?y2?z2]32由上式两端对应分量相等，可得到

(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32

①

y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32

②

z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32

③

当y?0或z?0时，将式②或式③代入式①，得a?0。所以，当y?0或z?0时无解；

当y?0且z?0时，由式①，有

(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3

解得

x?(?3?22)a

ex(x?a)?eyy?ezz2[ex(x?a)?eyy?ezz]但x??3a?22a不合题意，故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。

2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。

解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为

r?z0drdE?ez232 2?0(r2?z0) 故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为

r?z0dr?z01E?ez???ez22322122?(r?z)2?0(r2?z0)000???ez0? 2?0 题2.10图

而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为

r?z0dr?z01?1??e?e?E zz22322212?2?0(r?z0)2?0(r?z0)04?0202.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的

E??ez3z03z0

磁感应强度B。

解 球面上的电荷面密度为

Q??

4?a2当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r?era点处的电流面密度为

JS??v??ω?r??ez??era?

?Qe???asin??e?sin?

4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为

?Qsin?d? dl?ad?细圆环的电流为 dI?JSdl?4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

?0b2dI?0?Qa2sin3?d??ez? dB?ez22322222322(b?d)8?(asin??acos?)?0?Qsin3?d? ez8?a?0?Qsin3???Q 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ez?d??ez008?a6?a2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B?exBx； （2）证明：在中点处dBxdx等于零；

22（3）求出b与d之间的关系，使中点处dBxdx也等于零。

?0Ia2解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B?ez2232

?2(a?z)得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B?ex

(b2?d24)32（2）两线圈的电流在其轴线上x(0?x?d)处的磁感应强度为

??0NIb2??0NIb2B?ex?2?2322232?2(b?x)2[b?(d?x)]?? ?0NIb2所以

dBx3?0NIb2x3?0NIb2(d?x)??? dx2(b2?x2)522[b2?(d?x)2]52故在中点x?d2处，有

dBx3?0NIb2d23?0NIb2d2??2??0 2522252dx2[b?d4]2[b?d4]d2Bx15?0NIb2x23?0NIb2??? （3） 222722252dx2(b?x)2(b?x) 图 题2.11

15?0NIb2(d?x)23?0NIb2? 22722[b?(d?x)]2[b2?(d?x)2]525d241d2Bx??0 ?0令 ，有227222522x?d2[b?d4][b?d4]dx即 5d24?b2?d24 故解得 d?b

2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中 心线与z轴重合，通过的电流为I。证明在第一 ?I 象限内的磁感应强度为 Bx??0?，

4?a ?IrBy?0ln2 式中、和如题2.12图 ?r1r2 4?ar1 所示。解 将导体带划分为无数个宽度为dx?Idx?。由条带的电流dI?的细条带，每一细

2a 题 2.12图 安培环路定理，可得位于x?处的细条带的电

流dI在点P(x,y)处的磁场为

?0Idx??dI?0Idx?dB?0??

4?a[(x?x?)2?y2]122?R4?aR?0Iydx? 则 dBx??dBsin???4?a[(x?x?)2?y2]?0I(x?x?)dx?dBy?dBcos??

4?a[(x?x?)2?y2]所以

a?0Iydx??x??x?a?0I??arctan? Bx???22?? ?4?a[(x?x)?y]4?a?a?y??a???a?x???a?x???0I?arctan?arctan???????4?a??y??y???x?a??x?a???0I?arctan?arctan???????

4?a??y??y???I?I?0(?2??1)??0? 4?a4?aa?0I(x?x?)dx?By???22?4?a[(x?x)?y]?a?0I(x?a)2?y2?0Ilnr2ln? 8?a(x?a)2?y24?ar1?I?0ln[(x?x?)2?y2]8?aa??a2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为