专题过关检测（二十二） 坐标系与参数方程
π??3π??1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B?2，?，C?2，?，D(2，4??4??
AB，π)，弧?曲线M2是弧
π??所在圆的圆心分别是(1,0)，?AB，，CD?1，2?，(1，π)，曲线M1是弧???
?. ，曲线M3是弧CD
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．
AB，解：(1)由题设可得，弧?ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，
?所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，，CDπ??所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ?0≤θ≤?， 4??
?M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ?≤θ≤
M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ?
π
?43π??， 4?
?3π≤θ≤π?.
?
?4?
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：
ππ
若0≤θ≤，则2cos θ＝3，解得θ＝；
46
π3ππ2π
若≤θ≤，则2sin θ＝3，解得θ＝或θ＝； 4433若
3π5π≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝. 46
π??π??2π??5π??综上，P的极坐标为?3，?或?3，?或?3，?或?3，?.
6??3??3??6??2．曲线C??x＝2cos φ，
的参数方程为?
?y＝sin φ?
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正
π??半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos?θ＋?＝2.
4??
(1)写出C??x＝x0＋tcos α，
的普通方程，并用?
?y＝y0＋tsin α?
(α为直线的倾斜角，t为参数)的
形式写出直线l的一个参数方程；
(2)l与C是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．
解：(1)C的普通方程为＋y＝1，
4π??由ρcos?θ＋?＝2得x－y－2＝0， 4??π
则直线l的倾斜角为，
4又直线l过点(2,0)，
2
?x＝2＋t，?2
得直线l的一个参数方程为?
2y＝t??2(2)将l的参数方程代入C的普通方程得 422
5t＋42t＝0，解得t1＝0，t2＝－，
5显然l与C有两个交点，
42
分别记为A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝.
5
??x＝tcos α，
3．(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?
?y＝tsin α???x＝4＋2cos β，
(t为参数，α为倾斜角)，曲线C的参数方程为?
?y＝2sin β?
x2
2
(t为参数)．
(β为参数，β∈[0，
π])．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程； (2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．
??x＝4＋2cos β，
解：(1)由曲线C的参数方程?
?y＝2sin β，?
2
得(x－4)＋y＝4.
2
22
∵β∈[0，π]，∴曲线C的普通方程为(x－4)＋y＝4(y≥0)． ∵直线l的参数方程为?
??x＝tcos α，??y＝tsin α
(t为参数，α为倾斜角)，
∴直线l的倾斜角为α，且过原点O(极点)． ∴直线l的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R. (2)由(1)可知，曲线C为半圆弧．
若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切． 21π
设P(ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝＝，故θ＝.
426
而ρ＋2＝4，∴ρ＝23. π??∴点P的极坐标为?23，?. 6??
4．(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
222
?x＝2＋3cos α，
?
?y＝3sin α
(α为参数)，直线l??x＝tcos β，
的参数方程为?
??y＝tsin β
(t为参数，
0≤β<π)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β. 解：(1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x－2)＋y＝3， 即x＋y－4x＋1＝0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ－4ρcos θ＋1＝0.
(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)．
因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)(ρ1>ρ2)，
??ρ－4ρcos θ＋1＝0，
联立得?
??θ＝β，
2
2
2
2
2
2
可得ρ－4ρcos β＋1＝0，
2
122
因为Δ＝16cosβ－4>0，所以cosβ>，
4
所以|OA|－|OB|＝ρ1－ρ2＝?ρ1＋ρ2?－4ρ1ρ2＝16cosβ－4＝2， 解得cos β＝±
2π3π，所以β＝或. 244
2
2
5．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于
O的三点A(ρ1，φ)，B?ρ2，φ＋?，C?ρ3，φ－?(ρ1，ρ2，ρ3>0)都在曲线M上．
66
?
?
π??
??
π??
(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；
3
?x＝2－t，?2
(2)若过B，C两点的直线的参数方程为?
1y＝t??2的面积．
π?π???解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos?φ＋?，ρ3＝2cos?φ－?，
6?6???
(t为参数)，求四边形OBACπ?π???则ρ2＋ρ3＝2cos?φ＋?＋2cos?φ－?＝23cos φ＝3ρ1. 6?6???(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x＋y－2x＝0，
将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t－3t＝0，解得t1＝0，t2＝3，3??1
∴在平面直角坐标系中，B?，?，C(2,0)，
?22?
π
则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝，∴ρ1＝3.
6
1π1π33
∴四边形OBAC的面积S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2sin ＋ρ1ρ3sin ＝.
262646．(2020届高三·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
??x＝7－t，
?
?y＝－2＋t?
2
2
2
?
?
(t为参数). 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：π?ρ＝42sin?θ＋?.
4
?
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求△ABQ面积的最大值．
??x＝7－t，
解：(1)由?
?y＝－2＋t?
2
消去t得x＋y－5＝0，所以直线l的普通方程为x＋y－5＝0.
π??2
由ρ＝42sin?θ＋?＝4sin θ＋4cos θ，得ρ＝4ρsin θ＋4ρcos θ，
4??化为直角坐标方程为x＋y＝4x＋4y，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)＋(y－2)＝8.
(2)由(1)知，曲线C是以(2,2)为圆心，22为半径的圆，直线l过点P(3,2)，可知点
2
2
2
P在圆内．
2
?x＝7－t，?2
将直线l的参数方程化为?
2
y＝－2＋t，??2得t－92t＋33＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝92，t1t2＝33， 所以|AB|＝|t2－t1|＝?t1＋t2?－4t1t2＝30. |2＋2－5|2
又圆心(2,2)到直线l的距离d＝＝，
22
2
2
代入圆的直角坐标方程，