0 专题二：线性规划 例 题

?x≥0

?

若不等式组?x?3y≥4所表示的平面区域被直线y?kx?4分成面积相等的两部分，则k的值为

?3x?y≤4?

（ ） A．

7 3B．

3 7C．?17 3D．?3 17【解析】先在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线y?kx?4为绕定点?0,4?的一条动直线，设直线交AC于M，若将三角形分为面积相等的两部分，则S△ABM?S△BCM，观察可得两个三角形高相等，所以AM?MC即M为AC中点，联立直线方程可求得A?0,?,C?1,1?，则

??4?3?17?17?M?,?，代入直线方程可解得k??．

3?26?

【答案】C

基 础 回 归

近年高考中几乎每年都会有一题考察线性规划，在线性规划问题中，除了传统的已知可行域求目标

函数最值之外，本身还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其它知识相结合，产生一些非常规的问题．在处理这些问题时，第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算．做到以上三点，便可大大增强解决此类问题的概率．线性规划主要位于必修5中的不等式．

规 范 训 练

一、选择题（30分/24min）

?x?2y≥0?1．若变量x,y满足约束条件?x?y≤0，则z?2x?y的最小值等于（ ）

?x?2y?2≥0?A．?5 2B．?2 C．?3 2D．2

【解析】按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封闭的三角形区域，目标函数化为：y?2x?z，则z的最小值即为动直线纵截距的最大值．目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向

?x?2y?0?1?上且更陡．通过平移可发现在A点处，纵截距最大．且A:?，解得A??1,?，所以

2???x?2y?2?0z?2x?y的最小值zmin?2???1??15??． 22

【答案】A

?2x?y?2≤0y?1?2．设变量x,y满足约束条件?x?2y?2≥0，则s?的取值范围是（ ）

x?1?x?y?1≥0?A．?1,?

2【解析】所求s??3???B．?,1?

?1??2?C．1,2

??D．?,2?

2

?1???

y?1可视为点?x,y?与定点??1,?1?连线的斜率．从而在可行域中寻找斜率的取x?10???1?1???1??1，在?0,1?处的斜率最大，为2值范围即可，可得在?1,0?处的斜率最小，即kmin?kmax?1???1?0???1??2，结合图像可得s?y?1?1?

的范围为?,2?． x?1?2?

【答案】D

?x?y≥0?3．变量x,y满足约束条件?x?2y?2≥0，若z?2x?y的最大值为2，则实数m等于（ ）

?mx?y≤0?A．?2

B．?1

C．1

D．2

【解析】本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，作出图像，直线y?mx为绕原点旋转的直线，从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数y?2x?z，若z最大则动直线的纵截距最小，可观察到A为最优解．A:??x?2y?2?02m??2?A?,?，则有

y?mx2m?12m?1???