06级

一、填空题（5分?8）：

1、当且仅当 时，p级数

??nn?1?1p收敛。

2、幂级数

???x?n?0n在?1?x?1内的和函数是 。

?y?3、设f????x?4、

x2?y2，则f?x?? 。 x?x,y???0,0?lim?2?x?sin?x2?y2?? 。

x2?y2y2y，则fx?1,0?? 。 x6、两平行平面Ax+By+Cz+D1=0与Ax+By+Cz+D2=0之间的距离

5、设f?x,y??xe??x?1?arctan为 。

?x2?y2?z2?17、两个球面的交线?2在xOy面上的投影曲线方程22?x??y?1???z?1??1为 。

a0??x,0?x?π8、f?x???的Fourier级数???ancosnx?bnsinnx?在x?0时

2n?1??1,?π?x?0收敛于 ；x??π时收敛于 ；x?π时收敛于 。

二、试解下列各题（6分?4）： 1、 已知两点M14,2,1和M2?3,0,2?，计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角。

???2z2、 设f是C类函数，z?fx?y，求。

?x?y(2)

?22?3、 求级数

111??????的和。 1?22?3n?n?1?24、 将函数f?x??sinx展开成x的幂级数，并指出展开式成立的区间。 三、（8分）判别级数

n?1ln?n?1?是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ ???1?n?n?1e 1

?xy,当?x,y???0,0??四、（8分）设f?x,y???x2?y2，试用函数可微分的必要条件证明

?当?x,y???0,0??0,f?x,y?在点?0,0?处不可微。

五、（8分）求过点??1,0,4?且平行于平面3x?4y?z?10?0，又与直线

x?1?y?3?z相交的直线的方程。 2六、（6分）设f?x?是周期为2π的周期函数，它在??π,π?上的表达式为

π?π?,?π?x???22?ππ?f?x???x,??x?

22?π?π,?x?π?2?2把f?x?展开成傅里叶级数。

?2x?12y?z?16?0七、（6分）证明曲线?2是两相交直线，并求其对称式方程。 2x?4y?2z?

07级

一、填空题（4分?8）：

1、当x满足条件 时，级数?2、设级数?un收敛于2，则?(2un?n?0?1收敛。 nn?0x??n?05)? 。 n23、若幂级数?an(x?2)在x?0 处收敛，则在x?3处 （填入条件收敛、绝

n?0?n对收敛或发散）

4、点P?1,1,?1?到平面x?2y?z?4的距离为 。 5、平面3x?y?z?4与平面x?y?z?1的夹角为 。

6、三角形?ABC的三个顶点分别为A(1,2,1),B(0,2,2),C(2,1,0)，则三角形的面积为 。

22?7、已知函数f?x,y?满足f?，则f?x,y?＝ 。 ,xy?x?y?y????x? 2

8、已知函数z?xe，则dz＝ 。

二、解答下列各题（7分?5）

1、设函数f?u,v?一阶连续可导，z?f??x?y,y??，求x?x?y?y。

??xy?x??z?z?2,?1?x?02、设f?x?是周期为2的周期函数，在(?1,1]上函数的定义为f?x???，

x,0?x?1?a0?f?x?在[?1,1]上的傅立叶级数展开式为???ancosn?x?bnsinn?x?。求a3，并

2n?1写出傅立叶级数在[?1,1]上的和函数s?x?的表达式。 3、求经过直线

x?1y??z?2，且与平面2x?y?z?2垂直的平面方程。 23?x?y2?z2?04、已知空间曲线?:?，写出该曲线的参数方程；并求以该曲线为准2?x?y?2z?1?0线，母线垂直于yoz平面的柱面方程。 5、讨论级数的

??n?1??1?nnpn?1(p?0)敛散性。

三、（8分）将函数f?x??1在x?2处展开为幂级数。 2x?3x?4?y3,当?x,y???0,0??四、（8分）考察函数f?x,y???x2?y2在?0,0?处的连续性、可导性

?当?x,y???0,0??0,与可微性。

五、（7分）求M??1,2,0?点在平面x?2y?z?1?0上的投影点。

??????六、（5分）已知非零向量a,b不共线，令c?ma?b，其中m为实数，证明当c最小

??时c?a。

111????2n?1。 七、（5分）证明limn??lnn

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