高考数学真题——函数压轴题(含答案) 下载本文

WORD格式

2018 年数学全国

已知函数 f ( x)

1 卷 1 x

x a ln x .

( 1)讨论 f (x) 的单调性;

f x1 f x2 ( 2)若 f (x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,

a 证明:

x1 x2

2

2

)

1 a x ax 1 解 :(1) f ( x) 的定义域为 ) , ( x

) (0, f 1 .

22

x x x ( i )若 a ,当且仅当 a 2, 0 ,所以 f (x) 在 ( x) 0 2 ,则 f x 1 时 f ( x) (0, 单调递减 .

a

2

2

4

2 a 2

a ( ii )若 2 ,令 f

0 得, x a ( x)

a

4 a

) U (

2 a

2a

或 x

4

.

a

2

a 4

2

(0, 当 x

a

2 a

2

) 时, 0 , f ( x) ; 4

4 a

当 x (

(0,

a

,

2

4) 时 , f (x ) 2

2 所 以 f

. ( x) 在 4 , a

a )单调递

2

4a 2

2

),(

aa 2

4 ,

) 单调递减,在 (

a

a 2

2

2

增 .

( 2)由( 1)知, f (x) 存在两个极值点当

且仅当

由于 f ( x) 的两个极x1 , x2 满足 2x 值点 x2 1 .由于

a 2.

ax 1 0,所以 x1x2 1 ,不妨设 x1 x2 ,则

f ln ( x1 ) f ( x2 ) 1 ln x1 x2 x1 x2 x1x2 1 a x1 x2 f ( x ln x1 ln x2

2 a x1 x2 2ln x2 ,

2 a 1 x2 x2

所以1

)f ( x2 )

a 2等价于

x2 2ln x2 0 .

专业资料整理

WORD格式

1

x2

x1 x2

设函数 g ( x)

1 ) 单调递减,又 g x 2ln x ,由( 1)知, g ( x) 在 (0, (1) x

0 ,从

专业资料整理

WORD格式

0 . 而当 x (1, ) 时, g( x)

1

所以

x2

f

x2 2ln x2 0 ,即 f ( x1 ) (x2 ) a 2 .

x

x1 x2

2017 年数学全国 1 卷

2x已知函数 (f x) ae+(a﹣2) e﹣ x.

1)讨论 f (x) 的单调

性; (

a 的取值范

( 2)若 f ( x) 有两个零点,求 围 .

(1)

f ( x)

的定义域为

a(

, ) , f (x) 2ae

2 x(a 2)e

)

x

1 (ae 1)(2e

xx1) ,

(ⅰ)若 0 ,则 f

a(x) 0 ,所以 f ( x) 在 (

0

,

单调递减 .

(ⅱ)若 0 ,则由 f (x)

( , ln a) 时 , f

当 ( x ) ( ,

ln a) x 得 x

ln a .

0; 当 x ( ln a, ) 时 , f ( x)

(0 , 所 以 f ( x) 在

f (x)单调递减,在

a

0

ln

)

a, 单调递增 .

f (x)

(2)(ⅰ)若 ,由( 1)知, ( ⅱ ) 若

a 0

至多有一个零点 .

x

, 由 ( 1 ) 知 , 当

ln a

ln a 时 , 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为

1

f ( ln a) 1

a

.

①当 1时,由于 f ( ln a)

②当

aaa ,故 1

1 ln a

0 f ( x)

只有一个零点;

(1,

0

0 ln f ()

,即 a) 时,由于 a

1 1 0 ln a

a

2

,故

f (x) 没有零点;

ln a)③当

(0,1) 时,

4

,即 ln a) 0 . 2e 2 0 ,故 f ( x) 在 (

2

f (

f ( 2) ae (a 2)e 2

n

3,

有一个零点 .

ln( 1)

a

0 设正整n0

满足 数

ln( 1) ln a

3

n0 n0 n0

a 2) n 0 f (n0) e ( ae e n 0 2 n 0 0

. ,则

)

n0

有一个零

专业资料整理