的特征值全为0 即 则的特征值为

从而有 trAk??1??2????n?0 由已知， trAk??1??2????n?0（1） 令为的不为0的特征值 且互不相同重数为 由（1）式得方程组

kkkkkk?n1?1?n2?2???nt?t?0?222n??n????n?22tt?0?11?333?n1?1?n2?2???nt?t?0 （2） ?????n1?1t?n2?2t???nt?tt?0?由于方程组（1.2）的系数行列式为

B??1?12??2??t?22??t2?1??1?1??t1?1??2??1t?2t??1?1??t1?j?i?t?????t??ti??j??1t?2t?1??t??

t??t又互不相同且不为0，

从而知，方程（2）只有0解，即 即没有非零的特征值

的特征值全为0， 由性质1，得为幂零矩阵，得证。

推论3.1.3 若为幂零矩阵,则一定有成立 证明： 由性质1得的特征值,所以 的特征值分别是 且有

, ,

???n??1n?1,E?A??1??????n???1n?1,. A?E??1??2?2即

6 .

推论3.1.4 若为幂零矩阵，则非退化 证明：令为的特征值.

若退化,则有,所以至少存在为的特征值,从而有为的一特征值,这与为幂零矩阵相矛盾,得证为非 退化.

性质3.1.2 一个阶幂零矩阵的特征多项式，从而它只有一个特 征值零。

证明： 设的一个特征值（一般为复数），则存在中非零列向量，使 AX0??0X0,AkX0??0X0，因，故必，于是的 特征多项式的根全为零，因而。

k3.2 幂零矩阵的相似矩阵

引理3.2.1设阶数为，则，而。 引理3.2.2 设，为阶方阵，则

性质3.2.1 所有指数为的幂零矩阵彼此相似 证明：因为阶幂零矩阵，其指数为，则 当时，

所以的最小多项式

又为幂零矩阵，由性质1，的特征值全为0 因此的特征多项式

f?????E?A??n?Dn???

所以 又因为

f?????E?A??n?Dn????d1???d2????dn???

从而有，dn?2??????d2????d1????1 故所有阶次幂零矩阵具有相同的不变因子为 ，得证。

性质3.2.2 相似于对角形的幂零矩阵是零矩阵

7 证明：设为幂零矩阵，则,使得，又设与对角形 相似，且令 易知，

则存在可逆矩阵,使，又与相似，则有，则，因此，所以。

推论3.2.1 若为阶严格上三角矩阵，则是幂零矩阵。 证明：因为为阶严格上三角矩阵，故令

,则显然有

?0?0?2A?AA????0??0?0?0?32A?AA????0??00?????00??????,进而有 ??00?00?00?00??00????00??????,??, ??00?00?00?00??所以存在，使。

注：显然对于严格的下三角矩阵也是幂零矩阵。证明类似如上

3.3 幂零矩阵的运算性质

（在矩阵中存在一些运算性质，幂零矩阵也不例外，而且这些运算性质在应用中也起到很重要的结论，其运算性质如下）

性质3.3.1 若为幂零矩阵且，则有 （1）?E?A??E?A?A2???Ak?1

?1（2）?mE?A???1111k?11k?1?m?0? E?2A?3A2?????1?Akmmmm证明：（1）

??E?A?E?A?A2???Ak?1 即?E?A??E?A?A2???Ak?1

?1????（2）由（1）类似可得 ?E?A??E?A?A2?????1??1?k?1Ak?1

?8 任意，则

?1 (mE?A)?[m(E?1A)]?1 m ?111[E?A???(?1)k?1k?1Ak?1] mmm111E?2A???(?1)k?1kAk?1 mmm ?

3.4 幂零矩阵与对角矩阵

引理3.4.1 设是阶幂零矩阵，则必存在可逆矩阵，使得

T?1AT?J?diag?J??1,n1?,?,J??n,nn??，其中阶数为且，为的特征值（可能有相同），称这样的为的若尔当标准形式。每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似。

引理3.4.2 设为的最小多项式，则整除的任何化零多项式。

引理3.4.3阶复矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式无重根。

引理3.4.4阶若尔当块的最小多项式为，且 有。显然当时即为所定义的幂零矩阵。

性质3.4.1 非零的幂零矩阵不能对角化但对于任意的方阵，存在幂零矩阵 ，使得可以对角化

证明：因为为幂零矩阵，则存在正整数，使得且的特征值全

为0，为的特征多项式且，令为的最小多项式，由引理则有，从而有，由于所以，则此时，由引理，显然的最小多项式有重根，那么不可对角化。 因为为阶方阵，由引理可知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 其中阶数为 令阶数为 则有阶数为

9 那么有，由定义得为幂零矩阵 现令

?J1?T?1BT?????J2??J1??D1??????????JS????D2J2????J??D ????Ds?Js即B?T?J??D?T?1?TJ?T?1?TDT?1 又为对角阵， 则上式可对角化 令，取，则有

?J1?k?J?k???????J2k????0 ??k???JS??J1?k?k????1?T?????J2kNk??TJ?T??1k????1?T?J??Tkk?1???T?1???1?kT0T?1?0????k?J2?即有可对角化且为幂零矩阵，得证。

推论3.4.1 设为幂零矩阵，且，那么与对角矩阵不相似。

证明：用反证法，设与对角矩阵相似，那么一定存在可逆矩阵,使得 ,这样的对角线上的元素就是的特征值，又的特征值全为0，从而 因此,与题设矛盾。 与对角矩阵不相似。

3.5 幂零矩阵与若尔当块

引理3.5.1 每一个阶幂零矩阵都与一个形如的矩阵相似，每一个是一个阶幂零若尔当块

引理3.5.2阶若尔当块的最小多项式为，且有。显然当时即为所定义的幂零矩阵。

性质3.5.1 若为幂零矩阵,则的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块,且的主对角线上的元素为0.

证明：为幂零矩阵,可知的特征值全为0。

10