在复数域上,存在可逆矩阵,使得
?J1??1TAT?????J2????J???JS?
其中
阶数为,
则为的特征值；又与相似,所以与有相同的特 征值,所以,即的主对角线上的元素全为0;所以有
,
则为幂零矩阵,其幂零指数为,,所以为幂零矩阵.所以的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块,且的主对角线上的元素为0.
通过以上幂零矩阵与若尔当块的密切联系，可以用它们的关系来推得以下这个 推论。
推论3.5.1阶幂零矩阵的幂零指数小于等于，且幂零指数等于其若尔 当形
矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.
证明：令为幂零矩阵，存在可逆矩阵,使得
，
其中
阶数为, 且， 取，则 且有
11 ?J1?kA?(T????J2?J1k????T?1)k??T??????JS???J2k???T?1?T?0?T?1?0 （1） ??k?JS??即
若为的幂零指数，则， 若，则，且 由（1）式可得
?J1?Ak0?(T????J2?J1k0????T?1)k0??T??????JS???J2k0???T?1?0 ??k?JS0??这与矛盾，故，得证。
4. 应用
4.1 幂零矩阵在矩阵运算性质中的应用----求矩阵的逆
对于求矩阵的逆，我们也学习过有几种方法，通过幂零矩阵来求得一个 矩阵的逆是学习幂零矩阵运算性质上的应用。
引理4.1.1：在复数域上每一个阶矩阵都可以表示成一个可对角化的矩阵与一个幂零矩阵的和。 例1.设,求。
?46?15??36?15??100????12?5???010??B?E 13?5解：由引理，A??????????12?4????12?5????001??其中且有
?36?15??36?15???12?5??0 12?5 B2?BB????????12?5????12?5??由性质知，
12 ?100??36?15???2?615????12?5????1?15? 010 ??????????001????12?5?????1?26??例2.设，求 解：令，其中
，且，由性质知
??1000??a?1A?1??aE?B??1?1?0a00??aE?1a2B?????1a201??1a0? ????a2001?a??例4.，求 解：
??x00?00??100?00?00?yx0?00??0?00??00? A?????01??0??????????????y?1??00y?x0??x??????000?10?????????001??000?yx????000?01????000? 其中
，且
由性质知
2n?1A?1?1y?1EBBnnBnx(E?xBn)?x?x2?x3???(?1)xn ??100?0??x???y1 ??x2x0?0????y3?y1??x32x?0?????x??n?1n?2?3?????(?1)n?1yxn?1(?1)n?2yxn?1(?1)n?3ynxn?2?1?x???13 00?00?????00??10??
4.2幂零矩阵的判断
学习了上面给出的有关幂零矩阵的性质等，我们要判断一个矩阵是否为幂零矩阵也是十分的方便。简单的给出如下几个矩阵： 例5.
解：由，易知,从而，由性质知为幂零矩阵。事实上 例6.
解：由，易知，从而，故为幂零矩阵。事实上
4.3幂零矩阵的综合应用
例7.，为阶方阵，为幂零矩阵且，则有
证明：由引理，在复数域上，存在可逆矩阵，使得
又为幂零矩阵 所以的特征值全为0，即
??1??1?1?1?1?T?A?B?T?TAT?TBT?T????2???T????n??1T?1?A?B?T?T?1A?BT?T?1?2?T
?N?1又可逆，则，A?B??2???1?2??n
?N由知为的特征值 则 故
例8.，，为阶方阵，且AC?CA,BC?CB,C?AB?BA, 证明：存在自然数，使得
证明：由于AC?CA,BC?CB,C?AB?BA
14 Ck?Ck?1(AB?BA)?Ck?1AB?Ck?1BA?A(Ck?1B)?(BCk?1)A
故trCk?trA(Ck?1B)?tr(Ck?1B)A?0 故为幂零矩阵
由性质知，使得，得证。
参考文献
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