4.9 三角函数的最值
●知识梳理
1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法.
常转化为y=a2?b2sin（x+?），其中tan?=2.y=asin2x+bsinx+c型.
常通过换元法转化为y=at2+bt+c型.
b. aasinx?b型.
ccosx?d（1）转化为型1.
（2）转化为直线的斜率求解. 4.利用单调性. ●点击双基 3.y=
1.（2000年全国）若0＜α＜β＜A.a＜b＜1 C.ab＜1
π，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则 4 B.a＞b＞1 D.ab＞1
解析：a=2sin（α+ab＞1.
答案：D
πππππ），b=2sin（β+），0＜α+＜β+＜，∴1＜a＜b，444422.函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－A.
2?1 2ππ，］上的最小值是 44
B.－D.
1?2 2
C.－1
1?2 2解析：f（x）=1－sin2x+sinx=－（sinx－∴当x=－答案：D
3.函数y=x－sinx在［A.C.
1?2π时，ymin=.
24125）+. 24π，π］上的最大值是 2
B.
π－1 2
3π+1 223π－
22D.π
解析：y=x－sinx在［答案：D
π，π］上是增函数，∴x=π时，ymax=π. 24.y=
sinx的最大值是_________，最小值是_________.
2?sinx2?sinx?22=1－.
2?sinx2?sinx解析一：y=
1当sinx=－1时，得ymin=－1，当sinx=1时，得ymax=.
32y解析二：原式?sinx=（∵y≠1）
1?y?|
2y11|≤1?－1≤y≤.∴ymax=，ymin=－1. 1?y331答案： －1
35.y=
2?cosx（0＜x＜π）的最小值是________.
sinx2?cosx?ysinx+cosx=2?1?y2sin（x+?）=2
sinx21?y2解析一：y=
?sin（x+?）=
（x∈（0，π））?0＜
21?y2≤1?y≥3.
∴ymin=3.
解析二：y可视为点A（－sinx，cosx），B（0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨迹 ?x???sinx，3x∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A（－，??y?cosx，2?1）时，ymin=kAB=3. 2y'B(0,2)AO-11x'
答案：3
●典例剖析
【例1】 函数y=acosx+b（a、b为常数），若－7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值. 剖析：函数y=acosx+b的最值与a的符号有关，故需对a分类讨论. ?a?b?1?a=4，b=－3； 解：当a＞0时，??a?b?7?当a=0时，不合题意；
??a?b?1?a=－4，b=－3. 当a＜0时，?a?b??7?当a=4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx+4cosx=5sin（x+?）（tan?=－
4）； 34）. 3当a=－4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx－4cosx=5sin（x+?）（tan?=∴bsinx+acosx的最大值为5.
xsinx+cotxsin2x的最值. 2剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题. 【例2】 求函数y=cot
1?cosxcosx17·sinx+·2sinxcosx=2（cosx+）2+. sinx48sinx∵sinx≠0，∴cosx≠±1. 解：y=
17时，y有最小值，无最大值. 48评述：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件. ∴当cosx=－
2?sinx的最大值和最小值.
2?cosx剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）.
【例3】 求函数y=
解法一：去分母，原式化为sinx－ycosx=2－2y，即sin（x－?）=
2?2y1?y2.
故
|2?2y|1?y2≤1，解得
4?74?7≤y≤. 334?74?7，ymin=. 33解法二：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1.它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率
∴ymax=
k的最值即可.由
|2?2k|1?k2=1，得k=
4?7. 3yP(2,2)1M(cosx,sinx)O1x
4?74?7，ymin=. 33评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视. ●闯关训练 夯实基础
∴ymax=
1.函数y=log2（1+sinx）+log2（1－sinx），当x∈［－
ππ，］时的值域为 64