第二章 圆锥曲线与方程

一、曲线与方程的定义：

设曲线C，方程F?x,y?=0，满足以下两个条件：

①曲线C上?一点的坐标?x,y?满足F?x,y?=0；

②方程F?x,y?=0?解?x,y?都在曲线C上.

则曲线C称是方程F?x,y?=0的曲线，方程F?x,y?=0是曲线C的方程.二、求曲线方程的两种类型：

1、已知曲线求方程；?用待定系数法?

2、未知曲线求方程①设动点?x,y?;②建立等量关系；③用含x,y的式子代替等量关系；④化简；?别出现不等价情况?⑤证明；?高中不要求?

椭圆

一、椭圆及其标准方程

1、画法

2、定义：?PPF1?PF2?2a,F1F2?2a?3、方程

x2y2①2?2?1?a?b?0?ab或y2x2②2?2?1?a?b?0?ab

x2y2二、几何性质：2+2?1?a?b?0?ab1、范围：x?a,y?b.

2、对称性：关于x、y、原点O对称. 3、顶点A1??a,0?,A2?a,0?,B1?0,b?,B2?0,?b?.

4、a,b,c之间的关系：a2?b2?c2

cb25、离心率：e??1?2?0?e?1?aa

1 e?0越圆,e?越扁 扩展：

x2y2x2y2①与椭圆2+2=1有相同焦点的椭圆方程为2+2=1?m?b2?aba?mb?m x2y2y2x2②有相同离心率的椭圆为2?2?1?k?0?或2?2?1?k?0?kakbkakb

③椭圆上的点到焦点的最小距离是a?c，最大距离是a?c.

④P为椭圆上一动点，当点P为短轴端点时，?F1PF2最大.

⑤AB为过焦点F的弦，则ABF2的周长为4a.

⑥直线y?kx?b与圆锥曲线相交于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点，则当直线的斜率存在时，弦长l为:

l?1?k2x1?x2?

22?1?kx?x?????12?4x1x2?? 或当k存在且不为0时，l?1?112?y?y?1??y?y?4y1y2???121222??kk

⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为Ax2?By2?1?A?0,B?0?.