1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，111749AD是整数，求AD
A B
解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中
AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?A D
C 1AB 2D C B
延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB
3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
A 1 2 B E C F D
证明：连接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。
∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
A 1 2 F C D E
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD
EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC 5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
B
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE
∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C
6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE 7. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD
8. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
E D C F A B
AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE， ∴∠AED=∠ABD，
∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得：AE=BD， ∵AF=CD,EF=BC，
∴三角形AEF全等于三角形DBC， ∴∠F=∠C。
9. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
A D B C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD
△AED是等腰三角形。∴AE=DE而AB=CD ∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.
10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB C A P B D 在AC上取点E，使AE＝AB。∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB。PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。 11. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE 证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线， ∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE 12. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC D C B F A E ∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5∴AGF∽CDF AF=AG=5∴DC=CF=2 13. 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 解：延长AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 14. 如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠OAB=∠OBA 证明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON ∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB 15. （5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求 证：AD+BC=AB． 做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC PCE∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+ D∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 BA∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中， ∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB， ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 16. 如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。