第26课时 天体运动与人造卫星(重点突破课)

[考点一 宇宙速度的理解与计算]

宇宙速度的理解和计算问题是高考常考的热点。这类题目一般难度不大，但考生不易得分，原因是对宇宙速度的理解不透彻或因为计算失误而丢分。

1．三种宇宙速度

第一宇宙速度 (环绕速度) 第二宇宙速度 (脱离速度) 第三宇宙速度 (逃逸速度) 2.第一宇宙速度的推导 v12Mm

方法一：由G2＝m 得v1＝

RR

GM

≈7.9×103 m/s。 R

v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 v12

方法二：由mg＝mR 得v1＝gR≈7.9×103 m/s。

第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π5 075 s≈85 min。

3．宇宙速度与运动轨迹的关系

(1)v发＝7.9 km/s时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)。 (2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动。

(4)v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

[典例] (2019·东营模拟)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝ 2v1。已知某星球的半径为地球半径R的4倍，质量为地球质量M的2倍，地球表面重力加速度为g。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )

A.

1

gR 2

1

B.gR 2D.

1gR 8

2

R≈ g

C.gR

Mmmv1

[解析] 设在地球表面飞行的卫星质量为m，由万有引力提供向心力得G2＝R，又有

RMm

G2＝mg，解得地球的第一宇宙速度为v1＝ R

GMR＝gR；设该星球的第一宇宙速度为v1′，

v1′

根据题意，有 ＝

v1

2MR1·＝；由地球的第一宇宙速度v1＝gR，再由题意知v2′＝2M4R2

v1′，联立得该星球的第二宇宙速度为v2′＝gR，故A、B、D错误，C正确。

[答案] C [易错提醒]

v1＝7.9 km/s是地球的第一宇宙速度，其他星球的第一宇宙速度要根据以下两种方法计算： v12v12Mm

①G2＝m，②mg＝m，其中M、R为星球的质量和半径，g为星球表面的重力加速度。

RRR

[集训冲关]

1．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )

A．3.5 km/s C．17.7 km/s

B．5.0 km/s D．35.2 km/s

GMm

＝R2解析：选A 根据题中条件可知：M地＝10M火，R地＝2R火，由万有引力提供向心力v2

m，可得v＝ R

v火GM，即＝ Rv地

M火R地

＝ M地R火

1，因为地球的第一宇宙速度为v地＝7.9 km/s，5

所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v火≈3.5 km/s，选项A正确。

2．某星球直径为d，宇航员在该星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为( )

v0A. 2v0C. 2

hd

B．2v0 v0D. 2

dh dh v02Mm

解析：选D 由题意可知，星球表面的重力加速度为g＝，根据万有引力定律可知Gd＝2h??2

?2?v2

md，解得v＝2确。

3．(2019·哈尔滨三中模拟)宇航员站在某一星球上，将一个小球距离星球表面h高度处由静止释放，使其做自由落体运动，经过时间t后小球到达星球表面。已知该星球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是( )

2hR2A．该星球的质量为2 GtB．该星球表面的重力加速度为C．该星球的第一宇宙速度为

h 2t2v02GMMm

；又在星球表面重力等于万有引力G＝mg，解得v＝ d2?d?2

?2?

d

h，故D正

2hR

t2

D．通过以上数据无法确定该星球的密度

2h1

解析：选A 小球做自由落体运动，则有h＝gt2，解得该星球表面的重力加速度g＝2，故B

2tMm2hR2

错误；对星球表面的物体，万有引力近似等于重力，即G2＝mg，可得该星球的质量M＝2，RGtGMmmv2hR

故A正确；由2＝＝mg，得该星球的第一宇宙速度v＝gR＝，故C错误；该星球的

RtR密度ρ＝

M4

πR3

3h＝2，故D错误。 32πRGt

[考点二 卫星运行参量的分析与比较]

人造卫星的运行快慢与轨道半径和中心天体的质量有关，考生在比较或计算不同卫星的速度、周期等物理量时常因为不会灵活选择相应公式而受困。

1．物理量随轨道半径变化的规律

2

???

?Mm?mωr→ω＝ GM→ω∝1?越

高rr G＝r???规越4πr4π?r＝R＋h?mr→T＝ →T∝r律?GMT?慢?GM1?ma→a＝→a∝??rr

?mg＝GMm?近地时?→GM＝gR?R

2

2332

23地

v2

mr→v＝

GM1→v∝rr

2322地

2地

2

2．地球同步卫星的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

3GMT2Mm4π2

(4)高度一定：由G2＝m2r得r＝ ≈4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－

rT4π2R≈3.6×104 km(为恒量)。

2πr

(5)速率一定：运行速度v＝T≈3.07 km/s(为恒量)。 (6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 3．极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。

(3)上述两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。