2011级实变函数积分理论复习题
一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）
1、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(x)?可积函数。（×）
2、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(x)?可测函数。（√）
3、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数，则
?fn?1?n(x)是[0,1]上的Lebesgue
?fn?1?n(x)是[0,1]上的Lebesgue
?[0,1]n??limfn(x)dx?lim?n??[0,1]fn(x)dx。
（×）
4、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在?fn(x)?的一个子列fnk(x)，使得，
???[0,1]k??limfnk(x)dx?lim?k??[0,1]fnk(x)dx。
（×，比如?fn(x)?为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。） 5、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在?fn(x)?的一个子列fnk(x)，使得，
???[0,1]k??limfnk(x)dx?lim?k??[0,1]fnk(x)dx。
（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。） 6、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数，则
??[0,1]n??limfn(x)dx?lim?n??[0,1]fn(x)dx。
（√）
7、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数，则
[0,1]n??limfn(x)dx?lim?n??[0,1]fn(x)dx。
（×）
8、设f(x)是[0,1]上的黎曼可积函数，则f(x)必为[0,1]上的可测函数。 （√，Lebesgue积分与正常黎曼积分的关系）
9、设f(x)是[0,??)的上黎曼反常积分存在，则f(x)必为[0,??)上的可测函数。 （√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数n>0，f(x)在[0,n]上
?黎曼可积，从而f(x)是[0,n]上的可测函数，进而f(x)是[0,??)?n?1[0,n]上的可测函数）
10、设?fn(x)?是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，G([0,1],fn)表示fn(x)在
[0,1]上的下方图形，f(x)=limfn(x)，则G([0,1],fn)单调递增，且
nnlimG([0,1],fn)=UG([0,1],fn=1￥nlimmG([0,1],fn)。 )=G([0,1],f)，mG([0,1],f)=n（√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。）
二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） （自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）
1、单调收敛定理（即Levi定理）
2、Fatou引理（法都引理）
3、非负可测函数的Fubini定理和Lebesgue可积函数的Fubini定理 4、Lebesgue控制收敛定理（两个）
5、Lebesgue基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理） 6、积分的绝对连续性
三、计算题（请完整写出计算过程和结果）
??sinx,x?D01、设D0为[0,?]中的零测集，f(x)??x3 ，求
??e,x?D0?[0,?]f(x)dx。
解：由题设f(x)?sinx，a.e.于[0,?]，而sinx在[0,?]上连续，
于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得
??
[0,?]f(x)dx??[0,?]sinxdx?(R)?sinxdx?(?cosx)0?0?2。
?x??xe,2、设Q为[0,+?)中有理数全体，f(x)??3xsinx,??e2x?[0,??)\\Qx?Q2 ，求
?[0.??)f(x)dx。
?x2解：因为Q为可数集，所以mQ?0，从而f(x)?xe?x，a.e.于[0,??)，而xe在
[0,??)上非负连续，且(R)???0f(x)dx?(R)?xe?x2??0212xe?xdx??e?x2??0?1， 21。 2所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得
?
[0.??)f(x)dx??[0.??)dx?(R)???0xe?x21?x2dx??e2??0???xe?x,x?[0,??)\\Pf(xd)x。3、设P为[0,1]上的Cantor三分集，f(x)?? ，求?
x.0[)????sin(e),x?P解：因为mP?0，所以f(x)?xe?x，a.e.于[0,??)，而xe且
212xe?xdx??e?x222?x2在[0,??)上非负连续，
(R)???0f(x)dx?(R)?2??0??0?1， 2??0所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得
?
[0.??)f(x)dx??[0.??)xe?xdx?(R)???0212xe?xdx??e?x2?1。 24、计算limxn?2x(1?)edx。
n???0nxn?2x解： 令fn(x)?(1?)e?[0,n](x)，易见fn(x)在[0,??)非负可测，且fn(x)单调上
nn升limfn(x)?en???x，故由单调收敛定理
lim?n????0??x(1?)ne?2xdx??e?xdx?1。
0n
5、积分计算
（1）设¤为全体有理数所成的集合，在E?[0,1]?[0,1]上函数f定义如下：
f(x,y)??x?y?,?1, 求 xyxsiny?e,x?y?.??Ef(z)dz。
（2）设¤为全体有理数所成的集合，在E?[0,1]?[0,1]上函数f定义如下：
f(x,y)??解：（1）记
(x,y)??,?xsiny, 求 x?e?ln(1?|xy|),(x,y)??.?Ef(z)dz。
={r1,r2,}，令Ak={(x,y)?Ex:y=rk，}则m(Ak)=0,故
￥骣m?UAk÷÷?÷=0,从而f(x,y)=1几乎处处于E。显然，1是E上的连续函数，从而在Ek=1桫上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，1在E上Lebesgue 可积且
1dz=(R)蝌EE1dxdy=1.
由于f(x,y)=1几乎处处于E，故由积分的基本性质
?Ef(z)dz??1dz?1.
E