第1讲 排列、组合与二项式定理
考情解读 1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等．
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是An＝n(n－1)(n－2)?(n－m＋1)或写成An＝mmn！
. n－m！
(2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是 Cn＝
mnn－
n－m！
n－m＋
或写成Cn＝
mn！
.
m！n－m！
(3)组合数的性质 ①Cn＝Cn； ②Cn＋1＝Cn＋Cn. 3．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)＝Cnab＋Cnan0n0
1n－1
mn－mmmm－1
n－22n－rr0nb＋C2b＋?＋Crb＋?＋Cnnananab(r＝0,1,2，?，
n)．
(2)二项展开式的通项
n－rrTr＋1＝Crb，r＝0,1,2，?，n，其中Crnan叫做二项式系数．
(3)二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即Cn＝Cn，Cn＝Cn，?，Cn＝Cn，?.
0
n1n－1kn－k - 1 -
n2n②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数C取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Cn?12n，Cn?12n相等，且同时取得最大值．
③各二项式系数的和
a．Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＋?＋Cn＝2； b．Cn＋Cn＋?＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋?＋Cn0
2
2r1
3
2r＋1
0
1
2
knn1nn－1
＋?＝22＝2.
2
热点一 两个计数原理
例1 (1)将1,2,3，?，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )
A．6种 C．18种
B．12种 D．24种
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1 B．204 D．920 思维启迪 (1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类． 答案 (1)A (2)A 解析 (1)∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个； 余下两个数字按从小到大只有一种方法． 共有233＝6种结果，故选A. (2)分8类，当中间数为2时，有132＝2种； 当中间数为3时，有233＝6种； 当中间数为4时，有334＝12种； 当中间数为5时，有435＝20种； 当中间数为6时，有536＝30种； 当中间数为7时，有637＝42种； - 2 - 当中间数为8时，有738＝56种； 当中间数为9时，有839＝72种． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种． 思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． (1)(20142大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女 医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A．60种 C．75种 2 B．70种 D．150种 (2)已知函数f(x)＝ln(x＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为( ) A．8 B．9 C．26 D．27 答案 (1)C (2)B 解析 (1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C6C5＝75(种)． (2)因为值域为{0,1,2}即ln(x＋1)＝0?x＝0， ln(x＋1)＝1?x＝±e－1， ln(x＋1)＝2?x＝±e－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，C1C2C2＝4，②当定义域中有4个元素时，C1C4＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数． 热点二 排列与组合 例2 (1)(20142重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A．72 C．144 B．120 D．168 111 13 2 2 2 2 21 (2)数列{an}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，?，11，则满足这种条件的不同数列的个数为( ) A．84 C．76 B．168 D．152 思维启迪 (1)将不能相邻的节目插空安排；(2)考虑数列中项的增减变化次数． 答案 (1)B (2)A 解析 (1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A2C3A3＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□ - 3 - 212