X Y 0 1
边缘分布为
0 1 45 6610 66X
0
1
10 661 66Y
0 1
Pi2
5616P2j
5616
（2）（X，Y ）的联合分布律如下 X Y 0 3 0 0 1 2 3 0
3 80 2
3 80 3
1 81 8 Y的边缘分布律 Y 1 3
解： X的边缘分布律
X 0 1
Pi2
13316 P2j 888887.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为
??4.8y(2?x)f(x,y)????0解：fX(x)?28
0?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度.
??????x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它
fY(y)??????1???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)0?y?1 f(x,y)dx??y?其它?08.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?y?e?,0?x?yf(x,y)??求边缘概率密度。
??0,其它.y x=y 解:fX(x)?????????e?ydy?e?x,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,?o x
?? fY(y)??????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye?y,y?0,0,y?0,
22??cxy,x?y?19.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=
??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421ydy?c?c? 3214y 5212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272??dydx?yY~fY(y)???y42?0?0?y?1 其它o y=x2 x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}2P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况：
P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=
25 365 365 361 3610945 ??121166105? 126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
1092105???? 1211111165525 ??6636P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
P {X=0}2P {Y=0} =
∴ X和Y不独立
16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y
?1y?e2,y?0的概率密度为fY(y)??2
?0,y?0.?（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
??1,x?(0,1)解：（1）X的概率密度为fX(x)??
??0,其它Y的概率密度为
y y=x2 D o 1 x ?1?y?e2,y?0fY(y)??2且知X, Y相互独立，
?0,y?0.?于是（X，Y）的联合密度为
y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e??00?x?1,y?0
其它2（2）由于a有实跟根，从而判别式??4X?4Y?0
2 即：Y?X 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}
2
P(Y?X2)???f(x,y)dxdy??dx?D01x20?1x21?1?22edy???dx?de?1??e2dx
0002yyx2?1?2??e?2?010?x22dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)
?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.144519.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为
?t?te,?f(t)????0t?0t?0
并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。
解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为
f(t)???te?t,t?0??
?0t?0Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：
x,y)???xe?xye?yf(x?0,y?0?0其它
∵
z≥0
∴ 当z<0时，fz (z) = 0
当z>0时，由和的概率公式知
f??z(z)????fx(z?y)fy(y)dy??z?(z?y)?yz3?z0(z?y)e?yedy?6e?∴ fz)??z3
?6e?z,z?0z(
??0z?0?z3（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为fz)???6e?z,z(??0 设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：
fx)???xe?x,x?0ξ(??
?0x?0z与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0， ∴当u<0，
fη(u) = 0
当u>0时
z?0z?0