概率论与数理统计浙大第四版习题答案全 下载本文

X Y 0 1

边缘分布为

0 1 45 6610 66X

0

1

10 661 66Y

0 1

Pi2

5616P2j

5616

(2)(X,Y )的联合分布律如下 X Y 0 3 0 0 1 2 3 0

3 80 2

3 80 3

1 81 8 Y的边缘分布律 Y 1 3

解: X的边缘分布律

X 0 1

Pi2

13316 P2j 888887.[五] 设二维随机变量(X,Y )的概率密度为

??4.8y(2?x)f(x,y)????0解:fX(x)?28

0?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度.

??????x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它

fY(y)??????1???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)0?y?1 f(x,y)dx??y?其它?08.[六] 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?y?e?,0?x?yf(x,y)??求边缘概率密度。

??0,其它.y x=y 解:fX(x)?????????e?ydy?e?x,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,?o x

?? fY(y)??????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye?y,y?0,0,y?0,

22??cxy,x?y?19.[七] 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??

?0,其它?(1)试确定常数c。(2)求边缘概率密度。 解: l=

??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421ydy?c?c? 3214y 5212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272??dydx?yY~fY(y)???y42?0?0?y?1 其它o y=x2 x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解:放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 } = P {X=0}2P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=

在放回抽样的情况下,X和Y是独立的 不放回抽样的情况:

P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=

25 365 365 361 3610945 ??121166105? 126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=

1092105???? 1211111165525 ??6636P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}

P {X=0}2P {Y=0} =

∴ X和Y不独立

16.[十四] 设X,Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布。Y

?1y?e2,y?0的概率密度为fY(y)??2

?0,y?0.?(1)求X和Y的联合密度。(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

??1,x?(0,1)解:(1)X的概率密度为fX(x)??

??0,其它Y的概率密度为

y y=x2 D o 1 x ?1?y?e2,y?0fY(y)??2且知X, Y相互独立,

?0,y?0.?于是(X,Y)的联合密度为

y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e??00?x?1,y?0

其它2(2)由于a有实跟根,从而判别式??4X?4Y?0

2 即:Y?X 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}

2

P(Y?X2)???f(x,y)dxdy??dx?D01x20?1x21?1?22edy???dx?de?1??e2dx

0002yyx2?1?2??e?2?010?x22dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)

?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.144519.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为

?t?te,?f(t)????0t?0t?0

并设各周的需要量是相互独立的,试求(1)两周(2)三周的需要量的概率密度。

解:(1)设第一周需要量为X,它是随机变量 设第二周需要量为Y,它是随机变量 且为同分布,其分布密度为

f(t)???te?t,t?0??

?0t?0Z=X+Y表示两周需要的商品量,由X和Y的独立性可知:

x,y)???xe?xye?yf(x?0,y?0?0其它

z≥0

∴ 当z<0时,fz (z) = 0

当z>0时,由和的概率公式知

f??z(z)????fx(z?y)fy(y)dy??z?(z?y)?yz3?z0(z?y)e?yedy?6e?∴ fz)??z3

?6e?z,z?0z(

??0z?0?z3(2)设z表示前两周需要量,其概率密度为fz)???6e?z,z(??0 设ξ表示第三周需要量,其概率密度为:

fx)???xe?x,x?0ξ(??

?0x?0z与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则:∵η≥0, ∴当u<0,

fη(u) = 0

当u>0时

z?0z?0