1?2x???1?4x??113?2x?4x?xe?e??xe?e???? =???24??0???024422 （2）E(2X1?3X2)?2E(X1)?3E(X2)?2?1?32??0x2?4e?4xdx

x?4x1?4x??352?4x?xe?e?e?1?? =1?3???2888??0 （3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?111?? 24813.[十四] 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )

?1第i号盒装第i号球解：引进随机变量Xi??

0第i号盒装非i号球? i=1, 2, ? n 则球盒对号的总配对数为X?Xi的分布列为

∴ E(X)?E(

?Xi?1ni

Xi: P: 1 0

1 nnn?1 nE(Xi)1 ni=1, 2 ?? n

?Xi)??E(Xi)?n?i?1i?1n1?1 i=1, 2 ?? n n14.[十五] 共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。

（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。 解：（1）

X P 1 2 3 ??n ??1 nn?11 ?nn?1n?1n?21 ??nn?1n?21 n1111?2???nn?1 ?2????n???nnnn2（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。

E(X)?1?

?i第i次试开能开门设 Xi?? i=1, 2 ?? n

?0第i次试开不能开门则试开到能开门所须试开次数为X?Xi P i ?Xi?1ni

0 ∵

n?1n?211???? nn?1n?innnn?1 n1 ni=1, 2??n

E (Xi)=i?∴ E(X)?i12nn?1 ????????E(X)??nnnn2ii?1i?115. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*?验证E (X* )=0，D (X* )=1

（2）已知随机变量X的概率密度。

X?E(X)D(X)

?1?|1?x|,f(x)??,?0求X*的概率密度。 解：（1）E(X*)?E[0?x?2

其它,X?E(X)D(X)]?1D(X)[E(X)?E(X)]?0

2?X?E(X)?22

D (X* )= E [X*－E (X )* ]]= E (X* )= E??

??D(X)?? = （2）E(X)?11E[X?E(X)]2??D(X)?1 D(X)DX?20x[1?|1?x|]dx?20?10x[1?(1?x)]dx??21x[1?(1?x)]dx?1

E(X2)?

?x2[1?|1?x|]dx??10x2[1?(1?x)]dx

??217x2[1?(1?x)]dx?6