P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr, （3）P (X=k) = (0.55)k－10.45

??n?0,1,2,?,其中 q=1－p，

r?1rk?r或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ck,k?r,r?1,? ?1p(1?p) k=1,2…

2k?1P (X取偶数)=

?P(X?2k)??(0.55)k?1k?10.45?11 316.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？

225?22P(X?2)?C5pq?C5?(0.1)2?(0.9)3?0.0729

（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

345P(X?3)?C5?(0.1)3?(0.9)2?C5?(0.1)4?(0.9)?C5?(0.1)5?0.00856

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？

012P(X?3)?C5(0.9)5?C5?0.1?(0.9)4?C5?(0.1)2?(0.9)3

3?C5?(0.1)3?(0.9)2?0.99954

（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.59049?0.40951

[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，?

P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}

21 =()n?1?， n=1，2，??

33（2）Y的可能取值为1，2，3

1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}

P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=

=

211?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}

2!1? 3!3 =

(3)P{X?Y}???P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?133?P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?23?全概率公式并注意?到 ??P{X?Y|Y?1}?0??

???

?P{Y?k}P{X?k}k?2注意到X,Y独立即 P{X?Y|Y?k}

?111?121?8???????27333?333???P{X?k}同上，P{X?Y}? ??P{Y?k}P{X?Y|Y?k}

k?13k?131121419 ???????P{Y?k}P{X?k}?1333932781故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?38 818.[八] 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。

P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)

= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)

11 = (0.4)3× (0.3)3+ [C3?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2] 22 ?[C3?(0.6)2?0.4]?[C3?(0.7)2?.3]?(0.6)3

?(0.7)3?0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。

P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+

P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

12=[C3?0.6?(0.4)2]?(0.3)3?[C3?(0.6)2?0.4]?(0.3)8?

21 [C3?(0.6)2?0.4]?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3 1?(0.3)3?(0.6)3?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3

2 ?[C3?(0.7)2?0.3]?0.243

9.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）

解：（1）P (一次成功)=

11? 470C83（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10(136973。此概率太小，按实)()?707010000际推断原理，就认为他确有区分能力。

[九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率

解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，

由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从） （1）P {X=0}=0.910≈0.349

21（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C100.120.98?C100.10.99?0.581

（3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590 （4）P {0

({0

= P {0

=0.581×0.590?0.343 （5）P {X=0}+ P {0

12.[十三] 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二：

48?4P(X?8)?e?0.029770（直接计算）

8!P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。

= 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）

[十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。

P{X?3}?P{X?4}?0.566530

[十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是

?1?e?0.4x,x?0FX(x)??

x?0?0求下述概率：

（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}； （4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟} 解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =FX(3)?1?e?1.2 （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =1?FX(4)?e?1.6

（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3

0,x?1,??18.[十七] 设随机变量X的分布函数为FX(x)??lnx,1?x?e,，

??1,x?e.求（1）P (X<2), P {0